一提二看三套：跨過因式分解那些坎兒

◎萬志建 許 吉

剛開始學因式分解時，同學們的思維處于逆向狀態，一時半會還沒有從整式乘法中回過神來.另外因式分解題型變化多，有的分解可能要走二三步，有的還要涉及整體思想，這更容易讓同學們在解題中無招可使或昏招頻出.本文幫同學們歸納因式分解常用的方法及易錯點，防控解題風險.

一、概念不明

例1 分解因式：a2+4a-5.

【錯解】原式=a（a+4）-5.

【錯因】沒有理解因式分解的概念，即沒有把一個多項式從整體上化成幾個整式乘積的形式.

【正解】原式=（a+5）（a-4）.

二、“提”中出錯

“提”即提公因式，一般來說，任何一道因式分解題，應優先考慮提公因式，而在實際解題過程中，提公因式存在以下誤區：

1.有而不提.

例2 分解因式4a2-16.

【錯解】原式=（2a+4）（2a-4）.

【錯因】因式分解不徹底，還有公因式可提取.為避免這種情況，因式分解時應優先考慮提公因式，這樣既可以降低運算難度，又可以讓分解更徹底.

【正解】原式=4（a2-4）=4（a+2）（a-2）.

2.提而不凈.

例3 分解因式：-3a2bc3+12abc3-3abc2.

【錯解（1）】原式=-3abc2（ac-4c-1）.

【錯因】符號處理失誤，最后一項沒有變號.為避免這種情況，可先提取“-”，使括號內首項為正，再提取公因式，熟悉后則可一氣呵成，一步提到位.再如分解因式a（x-y）2-a2（yx），則更要注意符號的處理.

【錯解（2）】原式=-3abc（ac2-4c2+c）.

【錯因】提公因式不徹底，還含有公因式c，為此提公因式中的因式應為各項系數的最大公約數與相同字母的最低次冪的積.

3.丟“兵”棄“甲”.

【錯解（3）】原式=-3abc2（ac-4c）.

【錯因】提公因式時，最后一項與公因式相同，提出后沒有用“1”補項，無形中取消了這項.

【正解】原式=-3abc2（ac-4c+1）.

三、套用出錯

套：即套公式.

在套公式時存在以下誤區：

1.公式不熟.

例4 因式分解：9x2-4y2.

【錯解】原式=（3x+4y）（3x-4y）.

【正解】9x2-4y2=（3x+2y）（3x-2y）.

例5 因式分解：-3a3b+6a2b-12ab.

【錯解】原式=-3ab（a2-2a+4）.

【正解】原式=-3ab（a2-2a+4）

=-3ab（a-2）2.

【錯因】以上兩例均是對公式特征把握不準，半生不熟.

2.分解不透.

例6 分解因式：（a2+1）2-4a2.

【錯解】原式=（a2+1+2a）（a2+1-2a）.

例7 分解因式：4x4-8x2+4.

【錯解】原式=4（x4-2x2+1）=4（x2-1）2.

例8 分解因式：9（x-y）2-25（x+y）2.

【錯解】原式=（3x-3y+5x+5y）（3x-3y-5x-5y）=（8x+2y）（-2x-8y）.

【錯因】分解不徹底，以上三個式子還可以運用公式法或提公因式繼續分解.

【正解】各式應在原有基礎上繼續分解為：（a+1）2（a-1）2；4（x+1）2（x-1）2；-4（4x+y）·（x+4y）.

四、總結提煉

看：即看項數，觀察特征.

兩項：考慮是否用平方差公式，關鍵看這兩項是否具備“平方、異號”的特征，即看兩項能否寫成平方的形式，是否為異號.

如：-x2+y2、9x2-4y2、9（x-1）2-4（y+1）2等都可以用平方差公式因式分解.

三項：考慮是否用完全平方公式，關鍵看這三項是否具備“首平方，尾平方，首尾兩倍中間放”的特征，即從整體看這個多項式是否為三項，其中兩項是否可化為平方項，另一項是否正好是這兩個平方項底數積的2倍.

如 x2-4x+4、9x2-12xy+4y2、9（x-1）2-12（x-1）（y+1）+4（y+1）2等都可以用完全平方公式因式分解.

為確保因式分解的準確性，我們還可以從以下幾個步驟去檢驗：一是看結果是否為幾個整式的乘積形式，二是看結果中的每個因式是否還能分解，而判斷的方法仍然是“一提二看三套”；三是看結果中的幾個整式的乘積必須等于原來的多項式.

總之，只要我們理解定義，掌握方法，經過適量練習，不斷總結經驗，就能跨過因式分解那些坎兒，“秒殺”復雜題，口答結果.