你不知道的三角形面積

羅小亮

【摘要】 新課程標(biāo)準(zhǔn)提出：數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。三角形的面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過(guò)程的學(xué)習(xí)有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新性思維。關(guān)鍵在于教師要善于引導(dǎo)學(xué)生用多種方法推導(dǎo)三角形的面積計(jì)算公式。用兩個(gè)完全相同的三角形拼成平行四邊形只是最常規(guī)的一種推導(dǎo)過(guò)程，我將致力于引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)幾種神奇的推導(dǎo)過(guò)程激發(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。

【關(guān)鍵詞】三角形 平行四邊形 面積計(jì)算公式 推導(dǎo) 轉(zhuǎn)化 剪拼

【中圖分類號(hào)】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）19-0071-01

數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級(jí)上冊(cè)中對(duì)于三角形面積公式的推導(dǎo)主要給了兩種思路，一種是通過(guò)將兩個(gè)完全相同的三角形拼成一個(gè)平行四邊形進(jìn)行推導(dǎo)；第二種是通過(guò)兩個(gè)完全相同的三角形剪、拼成長(zhǎng)方形進(jìn)行推導(dǎo)。

對(duì)于第一種思路數(shù)學(xué)老師一般都很熟悉。

對(duì)于第二種思路，就是在第一種思路的基礎(chǔ)上將一個(gè)三角形沿著高剪下，拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，從而進(jìn)行推導(dǎo)。

課堂上我會(huì)引導(dǎo)學(xué)生思考：能不能只用一個(gè)三角形推導(dǎo)出三角形的面積？

從而出現(xiàn)以下思路：將一個(gè)三角形沿著一條中線剪下來(lái)，拼成一個(gè)平行四邊形進(jìn)行推導(dǎo)：

平行四邊形的面積與原來(lái)的三角形的面積相等，只要算出平行四邊形的面積就算出了三角形的面積。

平行四邊形的底就是三角形的底，平行四邊形的高就是三角形的高的一半。

平行四邊形的面積=底（平行四邊形） × 高（平行四邊形）

=底（三角形） × 高（三角形）÷2

所以三角形的面積=底×高÷2

在上面思路的基礎(chǔ)上我又進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)第四種推到方法：

原來(lái)的三角形的面積等于兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積，只要算出一個(gè)長(zhǎng)方形的面積再乘以2就能得到三角形的面積。

一個(gè)長(zhǎng)方形的面積= 長(zhǎng) × 寬

一個(gè)長(zhǎng)方形的面積=（三角形底÷2）×（三角形高÷2）

兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積=（三角形底÷2）×（三角形高÷2）×2

= 三角形底÷2 × 三角形高÷2 ×2

= 三角形底 × 三角形高÷2

三角形的面積=三角形底 × 三角形高÷2

三角形的面積=底×高÷2

上面的推導(dǎo)方法是將一個(gè)三角形轉(zhuǎn)化成了兩個(gè)長(zhǎng)方形，在此基礎(chǔ)上我會(huì)引導(dǎo)學(xué)生思考：才能將這個(gè)三角形轉(zhuǎn)化成一個(gè)長(zhǎng)方形來(lái)推導(dǎo)。得出下面的推導(dǎo)方法：

長(zhǎng)方形的面積與原來(lái)三角形的面積相等，只要算出了長(zhǎng)方形面積就等于算出了三角形面積。

長(zhǎng)方形的面積= 長(zhǎng) × 寬

=（三角形底÷2）×（三角形高）

=三角形底÷2 ×三角形高

=三角形底×三角形高÷2

三角形的面積=底×高÷2

以上這幾種推導(dǎo)過(guò)程可以分成兩大類，教材中提供的前面兩種都是通過(guò)兩個(gè)相同的三角形剪、拼成一個(gè)學(xué)過(guò)的圖形進(jìn)行推導(dǎo)的，而后面三種都是通過(guò)把一個(gè)三角形進(jìn)行剪拼成一個(gè)學(xué)過(guò)的圖形進(jìn)行推導(dǎo)。當(dāng)然還可以說(shuō)把第一和第三種推導(dǎo)方法分為一類，因?yàn)檫@兩種方法都是將三角形剪拼成平行四邊形進(jìn)行推導(dǎo)，而第二、四、五種方法都是將三角形剪拼成長(zhǎng)方形進(jìn)行推導(dǎo)。但我更傾向于將上面五種推導(dǎo)方法按照第一種分類方法進(jìn)行分類。原因如下：

課堂上引導(dǎo)學(xué)生將這幾種推導(dǎo)方法進(jìn)行分類是很有必要的，因?yàn)檫@將為下一節(jié)課學(xué)習(xí)“已知三角形的面積和底，求三角形的高”或“已知三角形的面積和高，求底”有很大的幫助。因?yàn)閷⑦@幾種推導(dǎo)方法進(jìn)行分類之后更有助于學(xué)生在解決“已知三角形的面積和底，求三角形的高”或“已知三角形的面積和高，求底”的時(shí)候找到算理的依據(jù)。我以“已知三角形的面積和底，求高”為例來(lái)進(jìn)行分析：

已知三角形的面積是45平方厘米，底是10厘米，求三角形的高。

教材在引導(dǎo)學(xué)生解決這類問(wèn)題時(shí)，給出了兩種思路，一種是方程的思路，在這里不做贅述。另一種是算術(shù)方法，基本的解題思路如下：

第一步：先算出與這個(gè)三角形等底等高的平行四邊形的面積：

第二步：再用等底等高的平行四邊形的面積除以底就能得到平行四邊形的高，這個(gè)高也就是三角形的高：

列成綜合算式是：45×2÷10

這種方法正是運(yùn)用了常用的三角形面積公式的推導(dǎo)方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題的。

但我班上卻有幾個(gè)同學(xué)在課堂上寫出了這樣的算式：45÷10×2

很多教師可能以為學(xué)生這樣列式只是在熟練背誦了三角形面積公式之后的一種倒推的生搬硬套的方法。但當(dāng)我在詢問(wèn)了學(xué)生為何這樣列式的時(shí)候，學(xué)生給出了讓我極為驚訝的理由，而這個(gè)理由正是運(yùn)用了上面的推導(dǎo)方法的原理來(lái)進(jìn)行列式的。

因?yàn)?，三角形的面積就是轉(zhuǎn)化后的平行四邊形的面積，也就是說(shuō)這個(gè)平行四邊形的面積就是45，然后用平行四邊形的面積除以底就等于高，即45÷9得到的就是這個(gè)平行四邊形的高，而原來(lái)的三角形的高應(yīng)該是這個(gè)平行四邊形的高的2倍，所以再乘以2。完整的綜合算式就是45÷10×2。學(xué)生這樣的解釋簡(jiǎn)直太完美了。

當(dāng)然，這種列式方法也能用上面講的推導(dǎo)公式的方法來(lái)進(jìn)行解釋：

因?yàn)?，三角形的面積就是轉(zhuǎn)化后的長(zhǎng)方形的面積，也就是說(shuō)這個(gè)長(zhǎng)方形的面積就是45，然后用長(zhǎng)方形的面積除以長(zhǎng)就等于寬，即45÷（10÷2）得到的就是這個(gè)長(zhǎng)方形的寬，而長(zhǎng)方形的寬就是原來(lái)的三角形的高。將45÷（10÷2）進(jìn)一步轉(zhuǎn)化就得到了45÷10×2。

而這種列式的方法用第四種推導(dǎo)公式的方法來(lái)解釋也是邏輯清晰的：

三角形的面積是45平方厘米，而右邊的一個(gè)長(zhǎng)方形的面積就是三角形面積的一半，即45÷2。用長(zhǎng)方形的面積除以長(zhǎng)就能得到寬，即（45÷2）÷（10÷2）。而原來(lái)的三角形的高是這個(gè)長(zhǎng)方形的寬的2倍，所以三角形的高就是（45÷2）÷（10÷2）×2。將這個(gè)算式進(jìn)行簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化：

（45÷2）÷（10÷2）×2

= 45 ÷（10÷2）

= 45÷10×2

可見(jiàn)，用45÷10×2的方法來(lái)求這個(gè)三角形的高不僅是可以的，而且還能很好的培養(yǎng)學(xué)生對(duì)三角形面積公式的推導(dǎo)過(guò)程的理解，培養(yǎng)學(xué)生用多種方法解決問(wèn)題的能力，能很好地對(duì)學(xué)生進(jìn)行發(fā)散思維的訓(xùn)練。

通過(guò)上面的對(duì)于《三角形面積》的兩節(jié)課的教學(xué)過(guò)程可以看出，學(xué)生真正的在探究數(shù)學(xué)，而不是背數(shù)學(xué)。而這種研究性的學(xué)習(xí)對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力和邏輯推理能力將起到很好地推動(dòng)作用。