解后反思 效率倍增

李昌成 車燕昭

【摘 要】本文針對中學數學教學過程中，老師和學生都不同程度地缺乏解題后的反思，不知道怎樣反思，結合作者教學經驗從總結相關知識、落實通解通法、探索一題多解、嘗試多題一解、注重變式訓練、扭轉思維定勢等方面舉例展示了如何進行解題后的反思。

【關鍵詞】解題；反思；效率

【中圖分類號】G633.8 【文獻標識碼】A

【文章編號】2095-3089（2018）15-0065-01

中學數學教學離不開解題，不少學生在數學上花費大量的時間和精力來完成大量的習題，但是收效甚微.原因是多方面的，其中一個重要原因就是缺乏解后反思.著名數學教育家波利亞的《怎樣解題表》的主要內容之四是：檢驗與回顧.所謂回顧，就是現在提倡的反思，那么解題后我們該怎樣反思呢？

一、總結相關知識

解題后回顧本題相關的知識，可以增加學習內容，提高解題的價值，讓解題成為應用知識的主渠道，成為能力提升的好方法。

例1：已知球O外接于正四面體ABCD，小球O'與球O內切于點D，與平面ABC相切，球O的表面積為9π，則小球O'的體積為（ ）

A.〖SX（〗4π〖〗3〖SX）〗 B.4π C.6π D.〖SX（〗32π〖〗3〖SX）〗

解析：設小球O'的半徑為r，球O的半徑為R，正四面體的高為h，則由題意得，R=〖SX（〗3〖〗4〖SX）〗h，h=2r，即r=〖SX（〗2〖〗3〖SX）〗R，又球O的表面積為9π，即4πR2=9π，則R=〖SX（〗3〖〗2〖SX）〗，所以r=1，則小球O'的體積V=〖SX（〗4〖〗3〖SX）〗πr3=〖SX（〗4π〖〗3〖SX）〗.故選A。

二、落實通解通法

有些題，尤其是填空選擇題，可以通過特值法快速得解，我們解完后應該落實其通解通法，以達到鞏固知識，掌握方法，提高能力的目標。

例2：在平面直角坐標系xoy中，已知雙曲線C：〖SX（〗x2〖〗a2〖SX）〗-〖SX（〗y2〖〗b2〖SX）〗=1（a>0，b>0）的一個焦點為（2〖KF（〗2〖KF）〗，0），過雙曲線上的一點M作一條漸近線的平行線交另一條漸近線于點A，若△OMA的面積為1，則其離心率為〖CD#2〗.

解析：本題點M沒有限制，我們取其為左頂點，此時△OMA為等腰三角形，底為a，

高為|-〖SX（〗b〖〗a〖SX）〗·（-〖SX（〗a〖〗2〖SX）〗）|=〖SX（〗b〖〗2〖SX）〗，S△OMA=〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗·a·〖SX（〗b〖〗2〖SX）〗=1，ab=4，又a2+b2=c2=8，解得a=b=2，e=〖KF（〗2〖KF）〗.

本題中sin∠OAM=2·〖SX（〗b〖〗c〖SX）〗·〖SX（〗a〖〗c〖SX）〗=〖SX（〗2ab〖〗c2〖SX）〗的處理方法，溝通了三角與幾何，進而可以與正余弦定理聯系上.此法處理下面一題堪稱一絕。

三、嘗試多題一解

數學題是可以歸類的，有的類型明顯，有些不明顯，通過深入研究到達準確歸類，減少習題量，減小學生的負擔，歸類的過程也就是能力提升的過程。

例5：已知正方形ABCD的邊長為2，E在AB邊上運動，則DE〖TX→〗·DC〖TX→〗的最大值為〖CD#2〗.

例6：已知在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，，點P在邊AB上運動，則CP〖TX→〗·CB〖TX→〗+CP〖TX→〗·CA〖TX→〗=〖CD#2〗.

例7：在△ABC中，AD⊥AB，BC〖TX→〗=〖KF（〗3BD〖KF）〗，|AD〖TX→〗|=1，則AC〖TX→〗·AD〖TX→〗=〖CD#2〗.

例8：在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，點P在邊BC，CD上運動，則AC〖TX→〗·AP〖TX→〗的取值范圍是〖CD#2〗.

以上4例，可以利用平面向量基本定理結合數量積求解，但是都不算簡潔，它們都可以利用向量的投影快速解決，尤其是例8.請讀者體驗一下。

四、注重變式訓練

有研究表明，如果教學僅僅呈現解決問題的具體情景，學生并不能夠形成解決問題的模式，不能形成遷移。即使在具體情景中提煉出解決問題的規則，也不一定能夠形成清晰的模式，也不一定產生向新的問題情景遷移。必須在變式的問題解決過程中，不斷與已經提煉過的規則進行比較，才能夠內化產生特定的問題解決模式。

例9：已知P，Q是拋物線y2=2px的兩個動點，OP，OQ（O為坐標原點）是兩條互相垂直的弦，則PQ過定點〖CD#2〗.

解析：設P（2pt21，2pt1），Q（2p2t1，2pt2），則kPQ=〖SX（〗1〖〗t1+t2〖SX）〗，

所以，OP〖TX→〗·OQ〖TX→〗=4p2（t1t2）2+4p2t1t2=0，t1t2=-1

直線PQ：y-2pt1=〖SX（〗1〖〗t1+t2〖SX）〗（x-2pt21），即（t1+t2）y-x+2p=0（2，0）

所以直線PQ過定點（2p，0）.

反之，是否也成立嗎？

變式1：已知P，Q是拋物線y2=2px的兩個動點，直線PQ恒過定點（2p，0），試證明：OP⊥OQ（O為坐標原點）.

此命題也可表示為：如果P，Q是拋物線y2=2px的兩個動點，直線PQ恒過定點（2p，0） ，那么以線段PQ為直徑的圓經過原點.

事實上，這個逆命題也成立，請讀者證明.值得關注的是此命題在2005年北京春季高考和2017年全國3卷中有直接考察.后者題為：已知拋物線C：y2=2x，過點的直線l交C于A，B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓.證明：坐標原O點在圓M上.

由互相垂直的弦得到了OP〖TX→〗·OQ〖TX→〗=0，進而得到定點.若OP〖TX→〗·OQ〖TX→〗為其他值呢，是否類似結論呢？換言之，是否也有定點出現呢？

變式2：已知P，Q是拋物線y2=2px的兩個動點，滿足OP〖TX→〗·OQ〖TX→〗=-p2，證明直線PQ過定點（p，0）.反之也成立.（請讀者自己完成）

變式3：已知P，Q是拋物線y2=2px的兩個動點，滿足OP〖TX→〗·OQ〖TX→〗=-〖SX（〗3〖〗4〖SX）〗p2，證明直線PQ過定點（〖SX（〗p〖〗2〖SX）〗，0）或（〖SX（〗3p〖〗2〖SX）〗，0）.反之也成立.（請讀者自己完成）

類似問題在2006年上海高考中考察過：在平面直角坐標系xoy中，直線l與拋物線y2=2x相較于A，B兩點.求證：“如果直線l過點T（3，0），那么OA〖TX→〗·OB〖TX→〗=3”是真命題.

五、扭轉思維定勢

思維定勢容易使我們產生思想上的防性，養成一種呆板、機械、千篇一律的解題習慣。當新舊問題形似質異時，思維的定勢往往會使解題者步入誤區。大量事例表明，思維定勢確實對問題解決具有較大的負面影響。當一個問題的條件發生質的變化時，思維定勢會使解題者墨守成規，難以涌出新思維，作出新決策，造成知識和經驗的負遷移。

教學反思是一種大有裨益的思維活動和再學習活動，也是回顧教學、分析成敗、查找原因、尋求對策、以利后行的過程。解題是數學教師和廣大學生必須面對的日常工作，解后反思是教學反思的一個重要組成部分。一個優秀教師和學生的成長都離不開教題反思這一重要環節。解題反思能激發學習的自覺沖動，不斷的反思會不斷地發現困惑，從而促使自己努力探索，實踐出真知，提升自身的水平。

作者簡介：李昌成，四川資陽人，漢，1977.09生，數學高級教師，烏魯木齊市第八中學教研室主任，烏魯木齊市學科帶頭人，新疆冉崇靜數學教學能手工作室成員，研究方向：中學數學教育和教研。