高中生對虛數的理解

【摘 要】虛數是高中數學教學中的難點之一，具有很重要的實際應用價值，然而筆者在教學中發現，學生對于負數開平方依然存在疑慮，對于虛數的概念的理解不夠深刻。本文采用實證研究方法，對吉林和上海兩地225名高中生進行問卷調查，了解學生對虛數的有關概念、代數運算、幾何意義、實際應用等四方面理解和掌握情況。經過問卷統計分析以及對部分教師的訪談，運用SOLO分類理論對部分主觀題目進行分析，了解學生對虛數的理解程度，探究其原因并得出相應的結論，意義在于為今后的虛數教學提供一些教學建議。

【關鍵詞】虛數；實證研究；solo分類理論

【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A

【文章編號】2095-3089（2018）15-0041-02

一、問題的提出

虛數是復變函數論、解析數論等數學領域的基本工具，復變函數論廣泛應用于空氣動力學、流體力學、彈性力學、制圖、勢流理論、熱流量、靜電通量以及周期性現象的研究[1]。因此，盡管虛數概念在高中數學課程中所占的比重并不大，但它的學習具有重要意義。研究表明，高中生在理解虛數時存在困難。林永偉等（2004）指出，中學生對虛數的困惑表現在三個方面：（1）表現出激烈的內心沖突；（2）對新學的知識難以接受和認同；（3）無法理解復數的本質[2]。汪曉勤等（2005）通過對高一學生的測試發現，超過三分之一的學生并不理解和接受虛數，他們對負數平方根的排斥和抗拒與歷史上數學家的態度相似[3]。趙瑤瑤（2007）通過對高中生的調查發現，一半以上學生對虛數產生過疑惑[4][5]。

本研究將在前人研究的基礎上考查現階段高中生對虛數有關概念、代數運算、幾何意義、實際應用四方面的理解和掌握情況，藉此了解他們在虛數知識點上的學習現狀。具體研究問題為：

（1）學生對虛數是否存在認知障礙？造成這些障礙的原因有哪些？

（2）學生對虛數有關概念的理解程度如何？

（3）學生對于虛數的四則運算、幾何表示以及實際應用的掌握情況如何？

二、研究方法

采用問卷調查（問卷見附錄）和訪談的研究方法。被試為上海和吉林兩地共225名高中生，其中上海地區被試為高二學生140人，吉林地區為高三學生85人。

問卷中題目（選出四題），考查學生對于虛數概念的理解，復數相等的靈活應用以填空的形式考查，學生運用復數的代數或者幾何表示解決問題以解答題形式考查，虛數的學習對于學生數學學習的影響以選擇題形式考查。另外，筆者訪談四位在職高中數學教師（F1、F2、M1、M2），深入了解目前學生學習虛數的困惑及難點等。

按照年級、性別、地區分類整理問卷，用SPSS進行T檢驗時，一些客觀題按正確、錯誤、空白三類進行統計整理；對于部分主觀題，根據學生所寫的詳細過程，分為完全正確、部分正確、錯誤和空白四類。對于部分主觀題運用SOLO分類理論，判斷學生處于哪個層次，從而了解學生對虛數的理解程度，探究其原因并得出相應的結論。（宋潔、趙洪，2005）

筆者根據SOLO分類理論對學生對虛數的理解水平進行劃分：（1）前結構水平：不理解相應的概念、性質等，解題過程幾乎全部錯誤，給出錯誤答案。（2）單點結構水平：只記住相應概念、性質等，答題過程只含一兩步，但不能給出完整、正確的答案。（3）多點結構水平：理解相應知識并能加以運用，但對復雜問題不能有機整合，給出與正確答案接近的答案。（4）關聯結構水平：深刻理解并能靈活運用所學知識點來解決問題，給出正確答案。（5）拓展抽象結構水平：能夠根據所學知識用多種方法解決相關問題，靈活解決復雜問題，給出正確、簡便的解題方法。

三、研究結果

1.有關虛數概念的理解。

第1題：你覺得引入虛數單位i的目的是什么？〖CD#6〗

此題的目的是了解學生對于虛數的概念理解程度如何。24.9%的學生可以準確地說出引入虛數單位的目的，能夠認識到虛數的本質以及虛數與數系之間的關系。應用SOLO評價法，該部分學生處于水平4。14.2%的學生處于SOLO水平3，認為引入虛數的目的是求解方程；或者使的方程有解。25.3%的學生處于SOLO水平2，他們只是知道虛數是可以解決實數解決不了的問題，但他們并不知道虛數的本質是什么。究其原因，這與學生不了解虛數產生的歷史背景有直接關系。筆者訪談了F1、M1老師，兩位老師認為由于高考壓力，虛數的很多知識都被淡化了，學生平時接觸比較少，訓練也比較少。開始學習虛數時，可能部分學生會記得引入虛數的目的是什么，但時間久了，學生會遺忘，究其原因還是對虛數的概念理解程度不夠，根本沒有上升到關系性理解。

2.關于虛數的代數運算。

第2題：已知關于x的方程x2-（2i-1）x+3m-i=0有實根，則實數的取值范圍是〖CD#4〗。

此題涉及的知識點是復數相等的條件，11.6%的學生給出了正確答案，學生在回答此類問題時，需要考慮到實系數一元二次方程的虛數根的情況，知道實數與虛數的本質區別，深化問題，靈活運用所學知識點解決問題。76.8%的學生回答此題時出現了錯誤，其錯誤分為兩類：①m≤-〖SX（〗1〖〗4〖SX）〗。超過90%的被試給出了這個答案。這類學生是按照求解實數系內一元二次方程有解△≥0條件求解出答案。這說明，學生根本沒有區分實數系內一元二次方程與復數系內一元二次方程的區別，思維還停留在實數系內，從而導致錯誤。②其他帶有i的式子。少數被試也按△≥0解答，但計算過程出現了錯誤。

T檢驗知，高二年級學生的正確率較高，上海地區學生正確率較高。教師F2認為，很多使用人教版教材的地區，學生很少接觸此類題目，面對高考不考查的這類知識點，學生和老師不重視。上海教材（共10課時）中有一節是專門講解實系數一元二次方程解的問題，而人教版教材（共4課時）中強調對復數的概念和復數相等以及四則運算等比較基本的知識。

3.虛數的幾何意義。

第3題：已知|z|=1，，求|1+〖KF（〗3〖KF）〗i-z|的最大值。

此題的目的是考查學生對于復數模的幾何意義的應用，35.1%的學生給出了正確答案，68名學生在復平面內用數形結合的方法求解，將題目給出的信息轉化為數學語言，即單位圓上的點到一定點的距離的最大值，這部分學生處于SOLO水平4。學生能夠尋求一種簡便、靈活的方法巧妙地解決此題，對虛數的幾何直觀表示理解較透徹；8名學生采用代數方法求解，利用不等式|1+〖KF（〗3〖KF）〗i-z|≤|1+〖KF（〗3〖KF）〗i|+|z|，設z=a+bi，結合已知條件|z|=1給出正確答案，這8名學生處于SOLO水平4，在復數的代數計算方面掌握較好，能夠將以前學過的不等式性質與復數知識點結合，從而靈活地解決相關問題。3名學生結合二元二次關系式，利用求函數最值的方法求解，他們并不能靈活運用虛數模的幾何意義來解題，處于SOLO水平3。

19.6%的學生給出了部分正確的答案。一部分學生利用求函數最值方法求解，思路基本正確，但由于本題已知條件給出的是一個二元二次的關系，計算較繁瑣，所以學生在求解最大值化簡時極易出現錯誤。筆者認為，這類學生沒有很好地掌握虛數的幾何表示，運用時靈活性不夠，這阻礙了學生對虛數的進一步認識，他們處于SOLO水平2。24%的學生思路不正確，并不能很好地理解題目的含義。21.3%的學生沒有給出任何解答，筆者分析，可能學生面對此題找不到任何解決的辦法，他們處于SOLO水平1。

整理問卷發現，吉林地區的大部分被試用求函數最值的方法求解，由于計算繁瑣復雜，最終未能給出正確答案。教師M2認為，虛數的幾何意義實際上對于學生學習和理解虛數起著很重要的作用，對于學生來說也是學習虛數這部分知識的難點；同時學生需要深化理解虛數的模的幾何意義，并能夠靈活運用。

4.虛數的教育價值。

第4題：學完整章復數，你覺得對你的學習有何影響？（可多選）（ ）

A.沒什么影響；

B.讓我知道并體會很多數學思想；

C.在物理學等學科及生活中有很大應用；

D.培養我的良好的數學素養；

E.其他（請具體寫出）.

此題的目的是了解虛數的教育價值，選擇B的學生為56.5%，他們在學習虛數的過程中體會了很多數學思想。選擇D的學生達到29.6%，他們認為虛數的學習對其數學學習是有幫助的，因為虛數的學習過程對其培養良好的數學思維具有積極作用。選擇A“沒什么影響”的學生為27.8%，這部分被試并沒有體會到虛數對其數學學習的影響。選擇C“在物理等學科及生活中有很大應用”的只有11.1%，這部分被試沒有切實地感受到虛數在實際生活中或者對于其他學科的輔助作用。關于虛數的應用，卡茨（1999）講解了虛數（復數）在物理和工程上的應用，學生對于虛數在日常生活中應用的實例了解很少，因而他們不知道學習虛數的意義何在，這也是影響學生學習動機的一個原因。選擇其他的學生中，2名學生認為可以提高其計算能力；3名學生認為可以解決其他類型的數學問題；2名學生認為可以拓展其思維發展，其余8名學生答案與此題毫無關聯。

四、結論與教學啟示

通過以上分析，我們初步得出以下結論：

（1）高中生對虛數的概念理解是存在認知障礙的，很多學生不知道引入虛數的目的何在，虛數從本質上與實數的區別在哪里，大部分學生對于虛數概念的理解停留在SOLO水平1-2，對于虛數的不接受、不理解也印證了歷史的相似性。

（2）高中生對虛數的有關性質概念的理解也存在一些問題，很多時候學生不知道如何運用這些概念進行分析運用，只是死記硬背或者憑感覺。學生極易混淆實系數一元二次方程與實數系內一元二次方程的異同點。

（3）整體來說高中生對于虛數的四則運算能力不錯，大部分學生能夠準確計算關于虛數的加、減、乘、除以及求虛數的共軛等問題。對于虛數的幾何意義掌握不好，由于學生對虛數的幾何意義理解程度不夠，沒有很好地認識復平面內有關虛數的各種幾何表示，將近一半學生對虛數幾何意義的理解停留在SOLO水平1-2。

（4）虛數的學習對于學生來說很重要，但由于很多學生并不知道虛數在實際生活中的意義，比如虛數在電路、飛機設計等方面的應用，從而影響了學生對虛數學習與探究的動機。

基于上述結論，我們獲得如下教學啟示。

（1）虛數有關概念的教學。教師在引入虛數概念時，可以結合歷史素材，在課堂上有針對性地向學生介紹歷史上虛數產生和發展的來龍去脈。另外虛數的實際應用例子有很多，比如，虛數廣泛應用于物理學領域，教師在教學中可以適當地讓學生了解這些內容，有利于學生形成良好的學習動機，讓學生相信虛數是有用的，學習虛數是必要的。

（2）虛數的有關性質及幾何意義的教學。測試中發現學生很容易混淆實系數一元二次方程的解與一元二次方程的實數解。教師應該分析其本質區別，讓學生了解，一個方程為實系數一元二次方程并不代表其有實數解，注意虛數解的情況，幫助學生突破此難點。另外，調查顯示，學生對于虛數幾何意義的應用不夠靈活，而且調查學生認為最難學或者最難理解的內容（問卷中第10題）時，多數學生認為運用其幾何意義解題是最困難的。教師應該將復數的代數形式與實數對以及復平面內點之間對應起來，并深化虛數模的幾何意義，將數形結合思想貫穿于復數的教學之中。

參考文獻

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[3]汪曉勤等. 從一次測試看關于學生認知的歷史發生原理 [J]. 數學教育學報， 2005， 14（3）： 30-33.

[4]趙瑤瑤. 復數的歷史與教學[D]. 華東師范大學碩士學位論文， 2007.

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[6]薛薇，2009. SPSS統計分析方法及應用[M].北京： 電子工業出版社.113-116，130-136.

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[8]Katz，V，J.， 1999. True stories of an imaginary number [J]. Science， 283（5401）： 494.

作者簡介：林佳樂，女，漢族，吉林人，1988年2月出生，研究方向：數學史與數學教育，碩士研究生，初級教師，華東師范大學畢業。