關于貝葉斯公式的教學探討

唐獻秀 林尤武

【摘 要】貝葉斯公式是概率論中很重要的公式，公式涉及條件概率公式、全概率公式與乘法公式等重要公式，也是概率統(tǒng)計教學中的一個難點。本文介紹貝葉斯公式的定義以及應用實例，以便在教學中更好地幫助學生深入地理解以及應用公式。

【關鍵詞】貝葉斯公式；條件概率公式；全概率公式；乘法公式；概率統(tǒng)計教學

【中圖分類號】G640 【文獻標識碼】A

【文章編號】2095-3089（2018）15-0025-01

一、引言

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一個數(shù)學分支，它的理論與方法的應用幾乎遍及所有科學技術領域、工農業(yè)生產和國民經濟的各個領域。最簡單的投擲硬幣問題、博彩中獎、平分賭金、約會問題，到導彈的命中率、航天器碰撞概率、投資風險估計問題等等，都離不開概率論與數(shù)理統(tǒng)計知識.法國數(shù)學家拉普拉斯所說：“生活中最重要的問題，絕大多數(shù)在實質上只是概率的問題”.而貝葉斯公式是概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程中非常重要的一個公式，是教學中的重點也是難點。貝葉斯公式是英國學者托馬斯·貝葉斯于17世紀最早發(fā)現(xiàn)的，之后法國數(shù)學家拉普拉斯再次總結，逐漸被人們熟知，并認識到這個公式的重要性。公式涉及條件概率公式、全概率公式與乘法公式等重要公式，復雜難記、與全概率公式難于區(qū)分。根據(jù)自己多年的教學經驗，下面舉例進行講解。

二、貝葉斯公式的定義

先引入樣本空間Ω的劃分的定義：

設Ω為樣本空間，A1，A2，…，An為Ω的一組事件，若滿足

（1）AiAj=，i≠j，i，j=1，2，…，n

（2）∪〖DD（〗n〖〗i=1〖DD）〗Ai=Ω

則稱A1，A2，…An為樣本空間Ω的一個劃分。

例如：A，A〖TX-〗就是Ω的一個劃分。

若A1，A2，…，An是Ω的一個劃分，那么，對每次試驗，事件A1，A2，…，An中必有一個且僅有一個發(fā)生。

貝葉斯（Bayes）公式：

設樣本空間為Ω，B為Ω中的事件，A1，A2，…，An為Ω的一個劃分，且，P（B）>0，P（Ai）>0，i=1，2，…，n，則有

P（Ai|B）=〖SX（〗P（B|Ai）P（Ai）〖〗∑〖DD（〗n〖〗j=1〖DD）〗P（B|Aj）P（Aj）〖SX）〗，i=1，2，…，n

稱上式為貝葉斯（Bayes）公式，也稱為逆概率公式。

三、針對普通理工科學生所舉的例子

（醫(yī)療診斷）由以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗具有如下效果：被診斷者有癌癥，試驗反應為陽性的概率為0.95；被診斷者沒有癌癥，試驗反應為陰性的概率為0.95.現(xiàn)對自然人群進行普查，設被試驗的人群中患有癌癥的概率為0.005，求：已知試驗反應為陽性，該被診斷者確有癌癥的概率。

解：設A表示“患有癌癥”，A〖TX-〗表示“沒有癌癥”，B表示“試驗反應為陽性”，則由條件得P（A）=0.005，P（A〖TX-〗）=0.995，P（B|A）=0.95，P（B〖TX-〗|A〖TX-〗）=0.95

由此P（B|A〖TX-〗） =1-0.95=0.05

由貝葉斯公式得P（A|B）=〖SX（〗P（A）P（B|A）〖〗P（A）P（B|A）+P（A〖TX-〗）P（B|A〖TX-〗）〖SX）〗=0.087。

根據(jù)以往的數(shù)據(jù)分析可以得到，患有癌癥的被診斷者，試驗反應為陽性的概率為95%，沒有患癌癥的被診斷者，試驗反應為陰性的概率為95%，都叫做先驗概率。而在得到試驗結果反應為陽性，該被診斷者確有癌癥重新加以修正的概率0.087叫做后驗概率。此項試驗也表明，用它作為普查，正確性診斷只有8.7%（即1000人具有陽性反應的人中大約只有8.7人的確患有癌癥）。由此可看出，當我們去醫(yī)院檢查出陽性時，不必驚慌。

四、針對電信學院的學生所舉的例子

（修理計算機系統(tǒng)）一所大學暫時關閉計算機系統(tǒng)的局域網以便維修。以前的關閉是由于硬件故障，軟件故障或電力故障。維護工程師確定硬件，軟件和電力問題的概率分別為0.01，0.05和0.02。確定了如系統(tǒng)遇到硬件問題，以的機會關閉。類似地，若軟件問題發(fā)生，以的機會關閉；如果電力故障發(fā)生，系統(tǒng)以的機會關閉。局域網的當前關閉是由于硬件故障？軟件故障？電力故障的概率分別是多少？

解：用A表示“硬件故障”，B表示“軟件故障”，C表示“電力故障”，D表示“系統(tǒng)關閉”，則由條件得P（A）=0.01，P（B）=0.05，P（C）=0.02，

P（D|A）=0.73，P（D|B）=0.12，P（D|C）=0.88。

P（D）〖ZK（〗=P（AD）+P（BD）+P（CD）

=P（A）P（D|A）+P（B）P（D|B）+P（C）P（D|C）=0.0309〖ZK）〗

由貝葉斯公式得

P（A|D）=〖SX（〗P（A）P（D|A）〖〗P（D）〖SX）〗=0.2362，P（B|D）=〖SX（〗P（B）P（D|B）〖〗P（D）〖SX）〗=0.19417，

P（C|D）=〖SX（〗P（C）P（D|C）〖〗P（D）〖SX）〗=0.569579

當系統(tǒng)關閉時，應該先檢查電力，然后再檢查硬件，最后檢查軟件。

五、針對建筑工程學院的學生所舉的例子

（估計任務成本中的錯誤） 一個建筑公司雇傭了三個銷售工程師，記為（E1，E2，E3），分別估計所有投標任務成本的0.3，0.2和0.5。用D表示工程師們在估計成本時犯嚴重錯誤，且有P（D|E1）=0.01，P（D|E2）=0.03，P（D|E3）=0.02。求在估計成本時，如某個投標出現(xiàn)錯誤，錯誤由工程師E1，E2，E3造成的概率分別是多少？哪個工程師最有可能為重大錯誤負責？

解：由條件得P（E1）=0.3，P（E2）=0.2，P（E3）=0.5。

P（D）〖ZK（〗=P（E1D）+P（E2D）+P（E3D）

=P（E1）P（D|E1）+P（E2）P（D|E2）+P（E3）P（D|E3）=0.019〖ZK）〗

由貝葉斯公式得

P（E1|D）=〖SX（〗P（E1）P（D|E1）〖〗P（D）〖SX）〗=0.158，P（E2|D）=〖SX（〗P（E2）P（D|E2）〖〗P（D）〖SX）〗=0.316，

P（E3|D）=〖SX（〗P（E3）P（D|E3）〖〗P（D）〖SX）〗=0.526。

由此可見工程師E3最有可能為重大錯誤負責。

六、小結

在貝葉斯公式的教學中，為了讓學生了解貝葉斯公式在現(xiàn)實生活中的許多應用，提醒學生要善于總結反思。通過這樣的教學方式，極大地調動了學生的學習積極性，既能讓學生理解枯燥難懂的定理，又能激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生思維的深刻性、創(chuàng)造性，讓學生能夠學以致用。教學是一種傳知的高級心智活動 ，這種活動有著自己的規(guī)律性。一個數(shù)學教師應該有創(chuàng)造性工作的體驗 ，針對不同專業(yè)的學生采用不同的教學方法，在教學實踐中去細心體察與探索 。使同學們對 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程更加感興趣 ，更好地學習這門課程以及應用這門課程的知識到自己所學的專業(yè)當中，服務于所學的專業(yè)及未來的生產實踐生活中。

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個人簡介：唐獻秀（198412），女，廣西都安，講師，碩士。研究方向：概率論與數(shù)理統(tǒng)計。