函數思想貫穿高中數學初探

丘文宣

【中圖分類號】G633 【文獻標識碼】A

【文章編號】2095-3089（2018）21-0076-01

函數是高中數學第一個比較抽象，難理解的概念之一。它描述了自然界中量的依存關系，通過刻畫現實世界中量與量之間的數量關系，反映了一個量隨著另一個量變化而變化之規律。函數的思想方法就是提取問題的數學本征，建立函數關系，并利用函數的性質研究、解決問題的一種數學思想方法。

函數是一門應用非常廣泛的數學工具，因此它也是中學數學中的一個重要內容。其重要性不僅僅體現在自然科學、體現在工程技術上，也逐漸廣泛地體現在人文社會科學上：世界萬物之間的聯系與變化都有可能以各種不同的函數作為它們的數學模型。縱觀整個中學教學內容，函數的思想便如一根紅線把中學教學的各個分支緊緊地連在了一起，構成有機的知識網絡。它幾乎貫串于整個中學數學，無論是不等式，還是數列，無論是三角函數，還是集合，都可以看到它的影子。一些看來與函數風馬牛不相及的問題，我們若用函數的思想去思考，往往可以簡化解題過程，突破思維死角，進而解決問題.下試舉幾例，供有意者饗之。

一、函數思想在集合相關問題中的應用

例1：①已知集合，N={y|y=3x2+1，x∈R}，則M∩N=。

析：此題主要考察集合N中元素為y，即二次函數y=3x2+1的值域為 [1，+∞]，可知答案為{x|x>1}。

②已知全集為I=R，A={x|x2-3x+2≤0}，B={x|x2-2ax+a≤0，a∈R}，且 ，求a取值范圍。

析：此題主要考察二次函數y=x2-2ax+a≤0解集的情況。

解：當<0即0

當=0時，a=0或a=1。

若a=0，則x=0，不滿足題意。

若a=1，則x=1，滿足題意。

當>0時，兩個解必須在[1，2]內

綜上所述，0

在集合相關問題中，一元二次不等式、一元二次方程的題目隨處可見，它們相互轉化，許多時候都需求出一元二次不等式解集的情況，難度雖不高，但往往會因考慮問題不全面而失分，應引起重視。

二、函數思想在證明不等式中的應用

例2：設a，b∈R，求證：

析：直接采用不等式變換去證明還是比較不容易的。然而觀察題目特點，可以把不等式兩邊看成函數的兩個值，因此可否構造函數，而后應用該函數的單調性求解呢？

令，由易知：f（x）在區間（-1，+∞）上是增函數，

因為0≤|a+b|≤|a|+|b|，所以f（|a+b|）≤f（|a|+|b|）

巧妙極了！直接繞開了繁瑣的變形與計算，整個解題過程顯得非常簡潔。不但使學生拓寬了眼界，提高了能力；而且帶來了一種心情上的驚奇與精神上的震撼，使他們深深的體會到數學的奇妙，提高了學習數學的興趣。

例3：[1993年全國高考理（29）] 已知關于x的實系數二次方程x2+ax+b=0有兩個實數根α、β。證明：如果|α|<2，|β|<2，那么2|a|<4+b

析：作一次函數 ∵α+β

=-a，αβ=b，∴ ，取x1=2（α+ β）-（4+αβ）=-（2-α）（2-β）<0，x2=2（α+β）+（4+αβ）=（2+α）（2+β）>0，則有f（x1）=-1，f（x2）=1。由f（x）的單調性知-1=f（x1）

又|b|=|α||β|<4，∴4+b>0，∴2|a|<4+b。

函數的思想在歷年的高考題中，一直是必須考察的重點之一。而考慮到不等式與函數的特殊關系，我們必須對這種題型加以足夠的重視。本題通過構造一次函數，巧妙的將不等式問題化為函數問題來解決，整個問題得以輕松解決。

三、函數思想在數列相關問題中的體現與應用

例4：設等差數列{an}的前n項和為Sn，已知a3=12，S12>0，S13<0。

（1）求公差d的取值范圍；

（2）指出S1，S2，…，S12中哪一個值最大，并說明理由。

【分析】題（1）根據題設條件列出關于公差d的不等式組求出d的取值范圍；題（2）求等差數列的前n項和的最大值，其求法比較多，總的思路有如下2種：一是通項研究法，即當d<0時，求出使得an>0且an+1<0的n值；當d>0時，求出使得an<0且an+1>0的n值；二是前n項和 研究法，即列出 的表達式（當d≠0時，它是關于n的二次函數），求表達式的最大（?。┲怠?/p>

解不等式組得：- （2）解法一：由d<0，得a1>a2>a3>…>a12>a13。因此，若在1≤n≤12中存在自然數n，使得an>0，an+1<0，則Sn就是S1，S2…S12中的最大值。由于S12=6（a6+a7）>0，S13

=13a7<0，所以a6>-a7>0，a7<0，故S6最大。

解法二：

當- 解法三：由d<0，得a1>a2>a3>…>a12>a13。因此，若在1≤n≤12中存在自然數n，使得an>0，an+1<0，則Sn就是S1，S2…S12中的最大值。

故S6最大。

【評注】 本題考查等差數列、不等式等知識，利用解不等式及二次函數的圖像與性質求Sn的最大值，這是函數思想在數列中的一大表現。

四、函數思想在三角函數相關問題中的應用

例5：已知函數f（x）=-sin2x+sinx+a，當f（x）=0有實數解時，求a的取值范圍。

析：由f（x）=0得-sin2x+sinx+a=0，那么根據該等式如何求a的取值范圍呢？當然可以換元，設t=sinx，將問題轉化為一元二次方程-t2+t+a=0在[-1，1]上的根的分布問題。但是，總是覺得太麻煩了，經深思后，覺得可以先作如下變形：

分離a得：

如果把a看成是x的函數，問題轉化為求函數的值域。

因為sinx∈[-1，1]，所以

故當時，f（x）=0有實數解。問題輕松解決。

當然，函數思想還涉及到其他方面：比如立體幾何、解析幾何等。高考中對函數思想的考查，大都與其它知識相結合，以綜合題形式出現，在平時得教學中，應注重函數與方程、不等式、數列、集合之間的聯系。注意它們所體現的知識綜合的形式，只有平時注重知識積累，才能舉一反三，觸類旁通，將復雜問題化歸為簡單問題，從而解決問題，提高學生綜合運用知識的能力。