初中《楊輝三角》專題教學設計

傅越超　王加奇

【摘 要】借助一道中考題的解法思路引出“楊輝三角”，通過小組合作等形式探究楊輝三角，結合最短路徑數問題來鞏固楊輝三角，將抽象的數字結合數學歷史，回歸生活情境，把握數學問題本質，對初一學生的學習與提高有一定的啟發與幫助。

【關鍵詞】楊輝三角；西爾平斯基襯墊；最短路徑數

【中圖分類號】G633 【文獻標識碼】A

【文章編號】2095-3089（2018）21-0030-02

在中學數學教學中挖掘和融入數學史中的數學思想方法，對學生們解題大有裨益，可使問題解決更巧妙。在初中數學的學習中，楊輝三角雖然是《分式的整除》之后的閱讀材料，但是楊輝三角卻被廣泛應用于很多的數學難題當中。因此，開展《楊輝三角》專題課程有一定的必要性。

一、營造問題情境，發現特殊數陣

先給出一道度等級屬于“跳一跳，摘得到”的蘊含找規律思想的中考題，需要學生挖掘數據之間的聯系，找到規律，巧妙轉化并簡化數陣，得出答案。最后的化簡數陣與楊輝三角相同，由此特殊的數陣來引出對楊輝三角的探索。

問題：觀察下列數陣，根據前5行的規律，可知第6行的數依次是：.（2006年山東中考卷17題）[1]

分析：該題所有分數的分子為1，因此可將每個數轉化為其倒數，得到的新數陣D2，一些規律顯而易見：①每一行的第一個數依次遞增，且等于行數；②每一行的數字有對稱的特性；③每一行的數字都是該行首個數的倍數……但并不能直接猜測出第6行的數字。引導學生思考：將這個數陣的每一行提出他們的公因數，到新數陣D3，再次觀察。此時啟發學生，進行再發現：從第2行開始，每個數字都是上一行的左、右兩數之和。由此可得到第6行的數：1、5、10、10、5、1。

倒推回D2、D1，得到最終的第6行數：16、130、160、160、130、16。

二、探究新數陣，走進楊輝三角

通過例題中遺留的數陣D3，引出楊輝三角。通過小組合作來探究楊輝三角的特點及規律，并呈現楊輝三角、賈憲三角的數學背景，介紹《釋鎖算術》、《九章算法》《詳解九章算法》的數學地位和歷史意義。簡單介紹歐洲的帕斯卡三角，讓同學們更深層感受到中華文化的博大精深。通過引導學生了解楊輝三角的發展過程，追根溯源，讓學生回到歷史之中，激發學習的興趣。

探究1：楊輝三角里的數字，有什么特殊的地方呢？

引導學生進行小組討論，給出小組討論結果。

探究2：根據“畫線”提醒，還能發現什么呢？

①橫線：第n行的數字之和為（n-1）個2相乘之積（圖1）；

②斜線：斜線上數字存在遞增關系，且前后增量越來越大（圖2）；

③斜線加勾：發現斜線上的數字之和等于勾上的數字（圖3）。

分析：以上探究1是本節課的重點，探究2是本節課的難點，每一探究環節均分成多個小點分別攻克，由易到難逐步解決，有助于學生思維能力的訓練。

三、考慮最短路線，結合楊輝三角

本環節結合當前數學常見題型——最短路線問題，進行深層探究與應用。

問題：楊輝去參加聚會，但是只有他一張從A到O的地圖（圖4），地圖上標明了每條路線，縱橫有各5條路。楊輝發現，如果從A處走到O處（只能從南到北，從西到東），地圖中存在著好幾條路線，且都是最短并不重復，你知道他一共走出了多少條路線嗎？[3]

思考：教師引導學生思考，一步步探索題目之奧秘：

①想要搞清楚路線，先得確定什么？A-B的最短路線到底是多長呢？

②我們可否一步一步做，將到達每個路口的路線數全標注起來？

探究：從A點起，標記每個路口的字母（見圖5），然后引導探究最短路線數。

我們可計算出每一個路口的最短路徑數。觀察發現：若繞O點將圖形順時針旋轉135°，圖中的數據分布與楊輝三角一致。

思考：為什么圖中每個路口最短路徑數的規律會與楊輝三角一致？

由探究過程知道，每一處路口的最短路徑是等于能到達該路口的前一階段路口的最短路徑之和。轉化成數學化語言即：每一個數字均是前一行左右兩數之和。因此最短路徑數的本質其實是楊輝三角排列表。以后遇到相應的最短路徑題時，只需將最短路徑數問題與楊輝三角結合，既簡單又準確，做到“不數自明”。

本節課中，讓學生從多方面對楊輝三角進行了解，整節課看似“發散”，實則“集中”，多方探索最后均匯聚到楊輝三角，做到“始于楊輝三角，又終于楊輝三角”。本堂課的教學，既賦予學生一種解題新思路、新技巧，讓學生遇到類似難題時能順利遷移，又增加學生解題自信心，增強對數學學習的興趣，并為今后進一步學習數學奠定了扎實的基礎。

參考文獻

[1]岳昌慶.初、高中教學銜接一例——萊布尼茨調和三角形與楊輝三角[J].數學教學研究，2017，36（05）：28-30.

[2]馬光喜.西爾平斯基的杰作：襯墊、地毯、海綿[J].初中生數學學習，2004（09）：29-30.

[3]柯成森.矩形網格最短路線探討[J].中學生數學，2018（05）：22-23.