高中數學中如何由遞推關系求數列的通項

董根娥

（山西省大同市南郊教師進修學校，山西 大同）

類型一：累加法（型如：an+1=an+f（n））

以上n-1個式子相加得：an-a1=lnn，

又a1=2，∴an=2+lnn.

類型二：累乘法（型如：an+1=g（n）an）

【解析】原式可化為［（n+1）an+1-nan］（an+1+an）=0.

以上n-1個式子相乘，得

類型三：構造新數列法（型如：an+1=can+d）（c≠1 且d≠0）

例 3.已知數列｛an｝中，a1=1，an+1=2an+3，求an.

【解析】（an+1+λ）=2（an+λ），可得 λ=3

∴（an+1+3）=2（an+3）

∴數列｛an+3｝是公比為2，首項為a1+3=4的等比數列.

∴an+3=4·2n-1=2n+1

∴an=2n+1-3.

類型四：（型如an+1=c·an+f（n））

例 4.在數列｛an｝中，a1=-1，an+1=2an+4·3n-1，求通項an.

類型五：取倒數法

例 5.已知數列｛an｝中，a1=1，且當n≥2 時，，求數列｛an｝的通項公式.

類型六：取對數法

例 6.若數列｛an｝中，a1=3，且，求通項an.

【解析】由題意：an＞0，將兩邊取對數：lgan+1=2lgan

∴數列｛lgan｝是公比為2，首項為lga1=lg3的等比數列.

∴lgan=2n-1·lg3

∴an=32n-1.

類型七

例 7.已知數列｛an｝滿足a1+2a2+3a3+…+nan=n（n+1）（n+2），求通項an.

【解析】（an+2）2=8Sn①

（an-1+2）2=8Sn-1②（n≥2）

①-②得：（an+2）2-（an-1+2）2=8an，化簡得：（a1+an-1）（an-an-1-4）=0.

∵an＞0 ∴an+an-1＞0 ∴an-an-1=4 ∴ 數列｛an｝是公差為4的等差數列.

又∵a1=S1=2 ∴an=4n-2

以上的類型是高中數列中已知遞推關系求通項的常用類型，請同學們細心領會，認真掌握.