空間幾何體的截面

張小蓉，張秀蓉

（1.泉州第五中學，福建 泉州；2.泉州城東中學，福建 泉州）

高考文科數學對學生的空間想象能力有較高的要求，近幾年有多地的文科數學高考中直接或間接地出現了作圖題，其中如何做出空間幾何體的截面更是重難點.

如2015年全國卷Ⅱ，第19題：

如圖 1，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，點E，F分別在A1B1，C1D1上，A1E=D1F=4.過點E，F的平面 α 與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形.

圖1

（1）在圖中畫出這個正方形（不必說明畫法和理由）；

（2）求平面α把該長方體分成的兩部分體積的比值.

那如何作出一個幾何體的截面？首先，截面的邊界必在幾何體的表面，作截面的本質是找出平面與幾何體表面的交線；其次，判斷平面與幾何體的哪些表面有交線，由公理三可知兩個平面若有一個交點，必有一條交線；最后，作出交線即可.筆者將作交線分出以下兩種題型：

一、相交型

例1.（2015秋·石景山區期末）如圖2，有一個正方體的木塊，E為棱AA1的中點.現因實際需要，需要將其沿平面D1EC將木塊鋸開.請你畫出平面D1EC截正方體的截面.

圖2

解法一：1.判斷線段EC并不在正方體表面，點C為平面D1EC與平面ABCD的交點，所以平面D1EC與平面ABCD存在交線；

2.顯然點C對邊D1E與平面ABCD不平行；

3.在平面A1D1DA內，延長D1E與直線DA相交于點F，則直線CF與直線AB相交于點G，聯結EG；

則易得四邊形CGED1為所求截面

二、平行型

同樣我們觀察例1，有解法二：

1.判斷線段EC并不在正方體表面，點E為平面D1EC與平面A1B1BA的交點，所以平面D1EC與平面A1B1BA存在交線；

2.且顯然點E對邊CD1與平面A1B1BA平行；

3.在平面A1B1BA內，過點E作直線與直線CD1平行，與直線AB交于點G，聯結CG；

則易得四邊形CGED1為所求截面.

從例1的解答中，我們可以總結出，要得出兩平面的交線，只需先找出一個交點，并判斷該點的對邊與平面是否平行，并相應地作延長線或平行線即可.

除了題目直接要求作出截面或交線以外，以下兩個題型也與截面有關：

例2.如圖3，四棱錐P-ABCD中，點E，F分別為線段CD，PB的中點，在線段PC上是否存在一點Q使得AFQE四點共面，若存在求的值，不存在請說明理由.

圖3

解題思路：延長AE交BC于點G，聯結FQ交PC于點Q，即所求；

易得點Q是三角形PBG的重心，所以

例3.如圖4，直三棱柱AB悅-A1B1C1的底面為等腰直角三角形，粵月=粵悅；

點閱為線段月悅1的中點，證明：月悅⊥平面粵粵1閱.

解題思路：將三角形AA1D擴大至截面，易證.

如例2，例3，立體幾何中很多題目的難點在于如何找出平面相關的平行和垂直關系，有時將圖形擴大至截面可使問題迎刃而解.

圖4