殊途同歸
——直線與圓位置關系的一題多解

范玉霞

（甘肅省蘭州市第四中學，甘肅 蘭州）

一、題目展現

題目：過圓C：x2+（y-2）2=4 外一點A（2，-2）引圓的兩條切線，切點為E、F，求直線EF的方程.

二、思維辨析

發散思維是只從一個目標出發，運用已有的知識、經驗，沿著各種不同的途徑去思考，探求多種答案，從而獲得大量新信息的思維.

思維基點1——從直線方程出發

解法1 兩條切線AE、AF，其中一條AE的方程是x=2，則另一條切線的斜率一定存在，故設切線AF方程為：y+2=k（x-2），即kx-y-2k-2=0，圓心C（0，2），則，解得，切線AF的方程為

3x+4y+2=0，F點的坐標解點

故直線EF的方程為，化簡得：x-2y+2=0.

思維基點2——從相關點的坐標出發

解法 2 設切點F的坐標是F（x1，y1），因為CF⊥AF，且kCF=所以，解得所以，EF的方程即x-2y+2=0.

思維基點3——從圓的幾何性質出發

解法3 利用過圓外一點做圓的切線的方法，EF視為AC為直徑的圓與已知圓相交而得到的，的中點坐標（1，0），故以AC為直徑的圓的方程為（x-1）2+y2=20，EF的方程為，即x-2y+2=0.

思維基點4——從圓的切線方程出發

過一點M（x0，y0）作圓（x-a）2+（y-b）2=r2或x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F＞0）的切線方程為（x-a）（x0-a）+（y-b）（y0-b）=r2或x0x+

解法 4 設切點E（x1，y1），F（x2，y2），切線AE的方程為x1x+（y1-2）（y-2）=4，切線AF的方程為x2x+（y2-2）（y-2）=4，點A（2，-2）在切線AE、AF上，所以 2x1-4（y1-2）=4，2x2-4（y2-4）=4，即E（x1，y1），F（x2，y2）的坐標均滿足方程 2x-4（y-2）=4，所以EF的方程為x-2y+2=0.

思維基點5——從向量間關系出發

驗證E（2，2）也滿足方程x-2y+2=0，故x-2y+2=0為所求.

三、點滴體會

學生學習解析幾何相關內容時，突出的一個難點是不能恰當地將“形”的問題轉化為“數”的問題，把“數”的問題回歸到“形”的問題中去，而這兩者間的相互轉化是解析幾何的根本。解析幾何的主要思想是用代數方程依據平面直角坐標系研究幾何問題，將幾何圖形與代數方程建立聯系，通過研究圖形的代數方程得到代數結果，再從代數結果到幾何圖形的方法就是解析幾何的精髓。本例通過多方法、多角度、多途徑、多方式解決問題的解法，目的就是激發學生學習的熱情，增強學生對解析幾何思想的理解提高學生處理問題的能力，感受解析幾何的魅力，使學生明白開啟腦洞會有意想不到的驚喜.