點到直線、兩平行線間的距離公式

劉彥江 趙欣慶 張文斌 丁冬彥

（甘肅省蘭州市永登縣連鋁學校，甘肅 蘭州）

筆者基于幾何畫板軟件探究出了“點到直線、兩平行線間的距離公式”一課.以下為課堂實錄，僅供參考.

一、點到直線的距離公式

幾何畫板展示構圖：

1.新建畫板，建立平面直角坐標系.在x軸上任取點H；在y軸上任取點I.過H作x軸的垂線與過I作y軸的垂線交于P0.作線段HP0、線段HP0.隱藏垂線.

2.在x軸上任取點J；在y軸上任取點K.構造過J、K兩點的直線l.在直線l上任取點E，過點E作直線l的垂線，在垂線上任取點F（在直線l的右側），構造直線的法向量構造射線EF，隱藏垂線.

3.在直線l上任意取一點P，構造向量圖形如右：

4.拖動點J、K，使直線l在點P0的左側.過點P0作射線EF的垂線交EF于點G，構造向量的投影EG.

5.拖動點P0，觀察投影EG的變化.

新建文件夾，將“未命名1”存入.

板書：點到直線的距離公式：

在平面直角坐標系中，如果已知某點P0的坐標為（x0，y0），直線l的方程為Ax+By+C=0（A＞0，B≠0），求點P0到直線的距離.

解：如上圖，設直線l的一個法向量為不妨設為設P（x，y）是直線l上的任意一點，則

點到直線l的距離d為向量在上的投影的絕對值.

所以得到點到直線的距離公式

若A=0，直線l和x軸平行，直線l的方程為By+C=0，點到直線的距離公式為

若B=0，直線l和y軸平行，直線l的方程為Ax+C=0，點到直線的距離公式為

因此，若A=0或B=0，上式仍成立.

二、兩條平行直線的距離公式

幾何畫板展示構圖，其“腳本”如下：

1.新建畫板，建立平面直角坐標系.在x軸上任取點H；在y軸上任取點I.構造過H、I兩點的直線l′.

2.在y軸上任取點K，過點K作直線l′的平行線l″，在直線l′上任取點E，過E作直線l′的垂線，在垂線上任取點F（在直線l″的右側），構造直線的法向量構造射線EF，構造EF與直線l″的交點G.

3.在直線l′上任取點P1，直線l″上任取點P2，構造向量.構造向量的投影EG.

4.鼠標拖動點P1、P2，觀察投影EG的大小變化情況.如右圖：

另存為“兩條平行直線的距離公式”.

板書：兩條平行直線的距離公式：

在平面直角坐標系中，兩條平行直線l′與l″的方程分別為Ax+By+C1=0，Ax+By+C2=0，（A＞0，B≠0）.

求平行直線l′與l″的距離.

兩平行直線l′與l″的距離d就是向量在上的投影的絕對值.

得到兩平行直線間的距離公式.（板書）

本節課是向量思想方法與幾何畫板軟件的聯袂，用此法求點到直線、兩平行線間的距離，直觀、準確地展現了數學知識與軟件教學的交叉滲透，體現了數學美.