數學模型在經濟類專業中的應用

林曉東

摘要：在經濟管理類專業課程中，許多問題需要借助數學模型來求解，可以根據對研究對象的了解程度和建模目的來決定采用什么數學方法。數學和數學模型在經濟研究中的作用越來越重要，文章通過案例分析說明了數學模型在經濟類專業中的應用。

關鍵詞：數學模型；應用案例；經濟類專業

一、引言

上世紀中葉以來，科技迅速發展、社會不斷進步，數學向自然科學和社會科學的各個領域迅速滲透，并在工程技術、經濟建設及金融管理等方面作用越來越大，甚至可以說是舉足輕重。“高技術本質上是一種數學技術”的提法，已被越來越多的人所認識和接受。要充分發揮數學的作用，首先要懂得如何將所要考察的現實世界中的問題歸結為一個相應的數學問題，即數學模型，然后才有可能利用數學的工具，去尋找解決原有的實際問題的途徑，而整個過程就是通常所說的數學建模的過程。在經濟管理工作中，我們所面臨的問題是紛繁復雜的，如果需要借助數學模型來求解，不可能孤立地使用同一種方法。我們可以根據對研究對象的了解程度和建模目的來決定采用什么數學工具。

二、案例分析

經濟學是這樣一門科學，它研究社會對資源的分配，以滿足人類發展需求，或者說是這樣一門科學，它研究人們之間理性行為的競爭。數學關系在背后起著重要作用，甚至可以說是支配作用。經濟學研究中持續了幾十年的定量化趨勢仍然在繼續，數學和數學模型在經濟和經濟研究中的作用越來越重要。至于在計量經濟學、數理經濟學和信息經濟學等經濟學的新分支學科中，數學模型和數學方法更是貫徹始終，起著完全支配的作用。下面舉例說明。

（一） 經濟增長的索洛模型

經濟增長的主要指標是總的產出，建立總產出增長的定量模型無疑是十分重要的。如果要建立一個兼顧所有這些因素的數學模型無疑是十分復雜困難的。1987年的諾貝爾經濟學獎獲得者，美國經濟學家索洛將問題進行簡化，建立了經濟增長與產出、資本投入、勞動力投入的函數關系，揭示了經濟增長的若干本質。

考慮一個經濟體系，它作為全球經濟的一部分，不受阻擋地利用外來技術，不考慮消費選擇，假設總消費占總產出是一個固定的比例。不考慮失業，

令Y（t）表示t時刻的總產出、K（t）表示t時刻的資本存量，L（t）表示t時刻的勞動力。于是，可以建立總產出和資本、勞動力之間的函數關系：

Y=F（K，L）.

因為消費比率固定，資本存量增長率與總產出成正比，于是

dKdt=sY.

其中s為正常數，稱為儲蓄率。

此外，假設初始勞動力為L0，勞動力的增長率為r，于是成立

dLdt=rL.

于是索洛經濟模型可以表述為

dKdt=sF（K，L），K（0）=K0dLdt=rL，L（0）=L0

通常生產函數F是一次齊次函數，例如，取為柯布-道格拉斯函數，有

F（K，L）=AKa L1-a （0

從模型的第二式中容易求出

L（t）=L0ert，

由于生產函數是一次齊次函數，成立

F（K，L）=LFKL，1，

從而K（t）的微分方程可以改寫為

dKdt=sLFKL，1

令k（t）=K（t）L（t），有

dkdt=1L2LdKdt-KdLdt=1LdKdt-KL2dLdt，

由此可得k（t）滿足的微分方程

dkdt=sF（k，1）-rk.

這是一個伯努利方程，通過變換求解最后可得

K（t）=AsrL（1-a）0（e（1-a）rt-1）+K（1-a）011-a.

（二） 利益分配的合作博弈模型

在經濟活動中，若干實體相互合作很多時候比各自單獨完成任務更加劃算，達到共贏的局面。科學分配收益或分擔成本成為能否成功合作的關鍵問題。那么，應該怎樣科學分配收益或者分擔成本呢？這種分配問題叫做合作博弈。沙普利給出了這種分配問題一種可行方案。

設I={1，2，…，n}為合作博弈的各方。組合S的效益記為v（S）。第i位成員的分配記為Pi 。P=（p1（v），p2（v），…，pn（v））T 稱為沙普利值，

它由效益函數v（S）確定。它的計算公式為

其中Si是I中包含i的所有子集，|S|是自己S中的元素個數（組合S中的參加者數量），w（|S|）是加權因子

v（S）是方案S的獲利，v（S＼i）表示在這種合作方式中第i方退出以后的獲利。因此，v（S）-v（S＼i）可以看成在這種合作方案中第i方的“貢獻”。根據前面的假設，任何一方在任何合作方案中的貢獻都是非負的。Pi（v）表示第i方“貢獻”的加權總和。下面舉例說明。

河的同一邊有三個城鎮，1在上游，2與1的距離為20 km，3與2的距離為38 km。城鎮排放的污水需經過處理才能排入河中。三個城鎮的污水處理可以單獨建廠，也可以合作建廠。已知建廠的費用為f1=73w0.712（單位：千元），鋪設管道費用為f2=0.66w0.51c（單位：千元），其中w是污水量（單位：噸/秒），c是管道的長度（單位：千米）。如果三城鎮的污水量分別為w1=5，w2=3，w3=6，試制定一個合理的建廠方案。

于是可以計算出存在的五種建廠方案的總費用：1.三城鎮分別建廠。建造費用分別為

F（1）=73×50.712=230（千元），F（2）=73×30.712=160（千元），F（3）=73×60.712=261（千元），總費用為651千元。2.城1、2合作，在城2處建廠，城3單獨建。建造費用為F（1，2）=73×（5+3）0.712+0.66×50.51×20=351（千元），總費用為612千元。同理可得，3.城2、3合作，在城3處建廠，城1單獨建。建造總費用為623千元。4.城1、3合作，在城3 處建廠，城2單獨建。建造總費用為650千元。5.三方合作，在城3處建廠。總費用為580千元。第5種方案是費用最少的，接下來關鍵問題是怎樣分擔這筆費用。

如果不采用沙普利的方法，人們首先想到的是根據污水排放量平均分擔費用的辦法。于是，城1應該分擔V（1）=55+3+6×580=207（千元），同理，城2應分擔V（2）=124（千元），城3應分擔V（3）=249（千元）。但是，按這種方案，城1、2、3分別可以節省23千元、36千元、12千元，看起來不太合理。

再給出一種方案：建廠費用按排污量分擔，2、3段管道費用由1、2兩城負責，1、2段管道費用則城1單獨負責。看起來公平合理，算下來發現，城3費用為V（3）=55+3+6×73×（5+3+6）0.712=205（千元），而城2和城1的費用則分別達到138千元和237千元，城1承擔的費用大于單獨建廠費用，這就明顯不合理了。

把節省的投資額當成收益，用沙普利的方法，計算各方省下的資金額。或者直接以建造費用當作效益函數來計算沙普利值，從而算出各方應該負擔的費用。可得p1=209（千元），p2=125（千元），p3=245（千元）。按此比例分擔總費用，每秒噸的費用為城1為41.8千元、城2為41.67千元、城3為40.83千元。各城節省的費用差距較小，所以這種分攤結果更合理。

三、結語

數學模型在經濟理論研究和實踐中發揮著重大的作用，但是我們也必須認識到它的局限性，它只是一種分析工具，不能用數學模型來代替經濟學，只能在合理范圍內應用數學模型解決問題，發揮它的作用。因此，我們必須對數學模型有一個客觀正確的認識，以便利用數學模型更加有效地為經濟研究服務。