探究小學數學數形結合思想的應用

吳瑞嬋

摘要：本文從數形結合思想定義出發，根據數與形之間的對應關系通過數與形的相互轉換來解決數學問題的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像聯系起來，使抽象思維與形象思維相結合；通過對圖形的認識，數形的轉換，使問題化難為易，化抽象為具體，從而獲得簡明的解法。

關鍵詞：數學；數形結合；數形轉換；抽象

華羅庚說過：數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休。當前小學生在數學解題中方法有些欠缺，因而在數形結合的教育意義及教育價值下，用數形結合思想方法來提高數學解題能力成為一個值得探究的課題。在平時教學中，讓學生動筆涂涂畫畫，把抽象的數學知識與具體的圖形結合起來，是一種便于學生理解，讓每個孩子都能積極主動的參與教學活動，提高學習效率的學習方法，同時更是讓學生真切地體會到了數學的美。在學習應用這種思想的前提下，我想有必要從它的定義出發。

一、數形結合思想

（一）數形結合定義

所謂數形結合是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，一方面借助數的精確性來闡明形的屬性，另一方面借助形的直觀性來闡明數量之間的關系。具體的說，就是在解決數學問題時，根據問題的背景，數量關系，圖形特征，或使“數”的問題借助“形”去觀察；或將“形”的問題，借助“數”去思考。從數學內容上來說，就是代數問題與圖形之間的轉換。這種解決問題的思想稱為數形結合思想。

（二）數形結合的價值

數與形的結合是重要的數學思想，它的優越性在于將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，通過對圖形的處理，發揮直觀對抽象的支柱作用，實現抽象概念與具體形象、表象的聯系和轉換，化難為易，化抽象為直觀。根據解決問題的需要，可以把數量關系的問題轉化為圖像性質來討論，或者把圖形的性質問題轉化為數量關系的問題來研究，溝通數與學的內在聯系，由數構形，以形促數，加大解題的透明度，避免繁瑣的運算過程。這樣簡捷解題，既提高了解題速度，還提高了解題的完整性。

（三）數形結合的原則

數形結合的原則分為：一、等價原則，是指“數”的代數性質與“形”的轉換性質應是等價的，即對于所討論的問題數與形所反應的反差關系應具有一致性；二、雙向性原則，在數形結合時，既要進行幾何直觀的分析，又要進行代數抽象的探索，兩方面相輔相成，僅對代數問題進行幾何分析（或僅對幾何問題進行代數分析）在許多時候是很難行得通的；三、簡單性原則，是指盡量使構造的圖形簡單合理，即使集合圖形簡單明了又使代數計算簡潔，避免繁瑣的運算。遵守數形結合解題上的原則是確保解題正確性的前提，具體注意事項將在后面探討。

二、數形結合的應用

（一）韋恩圖法的應用

韋恩圖法是一種基本的數形結合模式，它一般用原來表示集合，兩圓相交則表示倆集合有公共元素，兩圓想離則表示集合沒有公共元素，利用韋恩圖能很直觀的反應并解答有關集合點的關系問題。例，同學們去春游，有78人帶水壺，有71人帶水果，有48人帶水壺和水果，問一共多少人參加春游？通過韋恩圖法，將總人數加起來減去公共元素（帶水壺和水果的人），很容易得出答案101人參加春游，具體解法我就不再累述了。

（二）數形結合在幾何方面的應用

在幾何方面上，小學生的空間想象能力存在一定的局限性，有時，僅僅依靠學生在腦子中的想象，學生考慮問題就會出現這樣那樣的不周密，從而影響解題的正確性。這時，老師也可以恰當地引導學生來畫一畫，以畫促思，使數形結合，能更好地幫助學生解題。例如，把兩個邊長為5厘米的正方形拼成一個長方形，拼成的長方形周長是多少厘米？這個問題看似簡單，其實常常會迷惑很多小學生，錯以為答案為40㎝。但是采用數形結合就能很直觀的得出答案30cm。要求拼、割、組合圖形的周長，重點是要弄清周長由哪幾條邊構成。如果光憑想象，學生的考慮一定會出現不周全。

（三）數形結合在行程問題方面的應用

一類復雜的行程問題，在沒有學習二元一次、三元一次方程的小學階段，還只能利用圖形與數結合來表示數量關系幫助解決。例如，一輛汽車從甲地開往乙地。如果把車速提高20%，可以比原來提早1小時到達；若以原速行駛120千米之后，再將車速提高25%，則可以提前40分鐘到達。問兩地距離多少千米？

分析：用長方形的長表示速度，寬表示時間，則長方形的面積表示總路程，因為不管是以原速度原時間行，還是以變化后的速度和時間行，總路程都不變，即長方形的面積不變，那么減少的面積=增加的面積，即兩陰影部分的面積相等，通過數形結合的方式，就非常清晰明白的解決上述論題。

以上談到的數形結合在小學數學中運用的幾個方面，足以讓我們教師更加重視“數形結合”“以形輔數。”充分引入圖形，在教學中充分發揮其作用。因此，在平時教學中，有些數學知識讓學生動筆涂涂畫畫，把抽象的數學知識與具體的圖形結合起來，是一種便于學生理解，讓每個孩子都能積極主動的參與教學活動，提高學習效率的學習方法，同時更是讓學生真切地體會到了數學的美。