高等數學解題中線性代數方法的運用

張憶偉　孫志田

摘要：在高校當中，高等數學是一門十分重要的課程，線性代數是高等數學的一個重要分支，很多學生在數學學習的過程當中，將數學問題的學習方法轉化為高等數學或是線性數學，由此可見，高等數學與線性數學的解題方法對于學生的發展十分重要，但是在解題方法上，高等數學與線性數學有一定的差別，它們之間相互滲透，相互轉化，在進行這兩門學科的學習時，必須掌握一定的學習方法，對兩種學科進行專業的認識與習題的歸類，本文根據線性代數與高等數學在解題過程中的補充方法以及應用進行了一定的總結。

關鍵詞：線性代數方法 高等數學 解題 應用

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一、線性代數被廣泛運用的原因

隨著科學技術的不斷發展，我們對量變的研究數量也逐步增加。生活中許多實際問題能夠用到線性化代數。比如：計算機的發展，線性化的問題就可以計算出來，因此線性代數成了解決這一問題的關鍵，從而線性代數得到了廣泛應用。

在生活中，有很多自然現象是量變性的問題。例如：機械運動中的方程式運用的是牛頓第二定律；電運動的方程式是麥克思韋方程組等等。

二、線性代數教學中教師需要注意的教學方法

線性代數是數學中的一部分，讓主要研究數學向量問題以及線性變化等。學習數學的過程中，線性代數的應用非常重要。教師在授課過程中，應該引導學生，提高學生學好線性代數的重要性，引導學生使用正確的學習方法，從而使線性數學在高等數學中能夠更好的得到應用。

教師在教學的過程中，需要對線性代數的概念講解清楚，這樣學生能夠清楚的了解線性數學的概念，幫助學生在學習過程中更容易的理解。教師還可以列出關于線性代數的問題，并當場解決或讓學生思考，從而加深學生印象。

線性代數在學習過程中，只是局限于書本上的內容以及與考試有關的知識點，并沒有將實際問題結合到生活當中，導致教師在授課過程中太過于枯燥，學生對線性代數提不起學習興趣。因此教師應該加強線性代數的趣味性，將生活中的問題引入到課堂中。例如：建筑工程中的數據需要線性方程式；天氣預報也會根據多種因素歸結為線性方程組等等。這需要數學教師將所有生活中的實際問題引入線性代數的課堂中，激發學生學習數學的興趣，從而達到預期的教學目標。教師還可以讓學生就實際生活提出與線性代數有關的問題，并分組討論解決。在學習線性數學之前，學生還應該提前預習，加強概念的理解，試著解決線性代數中的問題，從而提高自己的運算能力。

三、高校線性代數教學的現狀

（一）教學模式不夠完善

現階段，高校對線性代數的教學只是采用理論的教學模式，這種理論知識只是局限于書本內容，不能解決生活中所面臨的線性代數問題，其知識點并不能吸引學生，因此造成學生學習狀態不佳，學習效率達不到最佳效果。

（二）學生對線性代數沒有學習興趣

教師在授課時，只是按照自己的教學計劃進行授課，從而忽略了學生的感受。課堂上教師和學生之間缺乏互動，對學生是否聽懂毫不關心，沒有活躍的上課氛圍，從而導致學生對線性代數這部分內容沒有興趣，甚至產生討厭數學的心理。

（三）線性代數安排的課時數較少

高校教師在安排線性代數這部分內容時，總是感覺有緊迫感。由于教學體制的不斷改革，學生的不斷增多，教師為了教學質量，從而縮短了教學時間，對線性代數這部分內容沒有做過多的準備。教學過程中，重點的內容占據了大量的課時，導致線性代數課程安排緊張，教師在傳授這部分重點知識的同時，忽略了學生是否可以解決線性代數的目標，從而導致教學效率低。

四、線性代數方法要求學生所具備的能力

（一）抽象思維能力

由于數學學科本身就有很強的抽象性，所以要求學生必須具有足夠的抽象思維，對學科知識進行想象，在學習過程當中，對于一些向量、矩陣等內容都需要進行抽象想象，在線性代數的學習過程當中，矩陣與線性方程組、矩陣與矩陣、矩陣與向量組、向量組與向量組等都需要在理論學習的基礎上進行一定的想象，以幫助學生更好的理解理論知識，并進行應用于與習，所以為了使學生理解它們之間的抽象關系，掌握其中的知識點，教師必須加強對其中的概念和內容的解讀。

（二）邏輯推理能力

數學學科的學習需要具備足夠的邏輯推理能力，尤其是線性代數當中，在數學學習的階段，從小學開，學生的邏輯推理能力便被不斷的培養，學生從開始學習數學，對于數的理解以及對數的運算，都是鍛煉學生邏輯推理能力的重要方式，在線性代數當中，每個知識點的邏輯關系聯系十分緊密。要求學生具有極強的邏輯思維能力，才能夠更好的進行數學學習，我們在很多學科學習當中都有這種體會，知識點不是單獨存在的，教材在知識點的安排和布置上，會有意識的進行分類規劃，對學生來說，便于學生的復習與研究，教師在講授的過程中也更加方便，這在一定程度上對于學生邏輯思維的能力形成也會產生影響，所以在線性代數學習的過程當中，學生必須具備邏輯思維能力，對知識內容進行上下的聯系，找出其中內在的關聯性，將所關聯的知識點放在一起，形成知識系統。

五、線性代數核心方法

在高等數學學習的過程當中，尤其是線性數學的學習當中，線性方程組作為一個重要的核心內容，對于線性方程組在解題過程中的答題方法和答題理論需要進行細致深入的研究，其主要方法是矩陣和矩陣的初等變換，有的解題方法在研究向量特征的時候，可以采用矩陣的初等變換這一階梯方法對于向量空間的維數和基和矩陣的逆矩陣研究，也可以采用矩陣的初等變換這一方法，所以在線性代數學習的過程當中，各種學科解決問題的方法都是融會貫通的，教師在教學的過程當中需要對方法進行靈活的掌握，指導學生學會隨機應變，重視矩陣的初等變換這一關鍵內容的學習，同時掌握矩陣這一重要的學習工具，在學習過程中做到游刃有余，尋找正確的解決思路，提高解決問題的效率，使學生實現綜合發展，提高學生對于高等數學學習的積極性與主動性，培養數學學習興趣，最終實現數學素養的提升，為我國高等數學的研究發展，培育更多的寶貴人才。

六、學生學習能力的培養

線性代數的學習需要學生具備抽象能力和邏輯思維能力，尤其是線性代數的核心在于行列式，行列式的學習需要學生具備足夠的抽象能力，才能夠更好的進行學習，如果僅僅憑借著公式的死記硬背是不能夠解決問題的，所以需要雙腦并用，在學生進行基礎概念的學習的過程當中，教師要指導學生對知識進行靈活的運用，注意題目與理論的結合，在解題過程當中更好的對知識進行融會貫通，對所學的知識進行深入全面的了解，在線性代數知識點掌握的同時，必須做到以下幾點。

（一）加強基礎知識的學習

只有學生做好理論基礎的學習，才能夠對問題進行解決，由于線性代數是一門概念性非常強的學科，所以解題思路也比較復雜，為了將這門學科學好，必須先進行概念的學習，如果概念不清楚，解題過程當中就會出現錯誤的思路，即使題做出來，也不會達到預期的效果，所以線性代數里面包含的概念必須進行準確的只記，雖然說概念比較容易，但學生搞清其中存在的關系和內在的邏輯性是比較困難的，所以必須進行循序漸進的學習，對理論知識進行更好的掌握，在掌握的過程當中，對抽象的地方進行理解與想象，實現知識點的銜接。

（二）重視知識點的轉換與銜接

由于線性代數這門課程涉及的知識比較多，所以知識點之間的聯系比較緊密，為了更好的將這些知識點聯系起來，必須進行知識點的銜接與轉換，構成一個知識體系，在知識點之間進行統籌規劃，使綜合分析能力得到提高，進而提高自己的解題能力，在學習過程當中，要將前后的知識點進行識記，同時在理解知識的過程當中，進行一些習題的練習，使知識點與習題進行相互滲透，連接貫通，在解題的過程當中，可以對理論知識進行實踐，總結出多種做題方法，在學習的過程當中，不能僅用一種方法進行做題，應當將知識點的轉換與做題思路進行靈活的掌握，提高做題速度，從而取得較好的成績。

（三）訓練表達能力與邏輯思維能力

學生在進行線性代數的學習時，往往會遇到很多證明題，這些證明題在證明的過程中需要進行語言的表述和邏輯的推理語言的表述，著實考查了學生的表達能力與邏輯思維能力，首先要將解題的思路找出來，對怎樣論證進行邏輯思維的考察，當解題思路出來后，如何實現簡明語言的表達，便成為對學生考驗的重要內容之一，所以在高等數學的學習時，學生需要足夠的表達能力與邏輯思維能力，在不斷的證明題之后，設計一些知識和概念，增加做題數量，來使自己做到游刃有余。

總之，高等數學在學習過程當中并不是十分簡單的一門學科，其內容也不是很好掌握，在錯綜復雜的學習過程中，學生必須對內容進行合理的歸類總結，將線性代數引入到高等代數的學習當中，以便更容易地解決一些問題，可以說線性代數為高等數學的學習提供了一個便捷的方法，所以一定要靈活運用各種線性代數的解題方法，在解決題目當中進行解題方法的補充和總結，使學生在學習的過程中可以提高自己的學習效率和學習的熱情，更好的進行高等數學的學習。

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（作者單位：[1]張憶偉，河北建筑工程學院電氣工程學院；[2]孫志田，河北建筑工程學院數理系。）