地方本科高校近世代數課程教學改革的實踐與思考

惠志昊

摘要：近世代數是現代數學的一個重要分支。近世代數課程既是本科數學與應用數學專業的一門專業必修課程，也是數學專業碩士研究生的重要基礎課程。這門課程概念多、理論性強、內容抽象，學生學習起來有較大的困難，教師教學效果也不太理想。近世代數課程教學內容、教學方法和教學手段等方面的改革探索有助于學生更好地學習該門課程。要改革課程內容，構建新的課程體系；要探索多元化的教學方法：要探索過程化多維考核評價方式。

關鍵詞：近世代數；教學內容；教學方法；考核方式

近世代數是現代數學的一個重要分支，是以代數系統為主要研究對象的一門學科。近世代數中群、環、域的基本理論和思想方法對培養學生的抽象思維和邏輯推理能力有重要的作用，也為其他專業課程的學習奠定基本的數學素養的基礎。隨著社會的不斷發展與實際的應用需要，近世代數的基本理論和基本思想方法已經逐漸滲透到科學領域的諸多方面。近世代數課程不僅是數學與應用數學專業的一門專業必修課程，而且為現代化科學技術人員奠定必需的數學基礎。因此，近世代數中的基本代數思想無論是對學生學習后續的數學課程，還是對從事其他學科的研究工作都有重要的作用。

一、近世代數課程面臨的現狀

近世代數的研究對象是帶有運算的集合，它把集合中運算的共同特點抽象出來，作為不同的代數結構進行研究。這門課程主要介紹群、環、域的基本概念和基本理論，有助于提高學生的邏輯推理能力和抽象思維能力。然而，近世代數課程概念多、理論性強、內容抽象，數學專業的本科生和研究生在學習這門課程時都經常會感到生澀難懂、枯燥乏味，這直接影響了學生對近世代數課程以及后繼相關數學課程的學習。

近年，國內很多學者及教育專家對近世代數課程的教學越來越重視。為此，筆者針對近世代數課程教學內容比較抽象、學生學習起來相對困難的實際問題，逐步對近世代數課程在教學內容、教學方法、教學手段和考核方式方面進行教學改革的實踐與探索，且取得了較好的效果。

二、近世代數課程教學改革的思考

近世代數因高度的抽象性和嚴密的邏輯性使初學者“望而生畏”，從而很難掌握運用近世代數的基本理論和基本思想方法來處理或解決實際問題的能力，進而直接影響了后繼課程的學習熱情，也給數學任課教師的教育教學工作帶來了嚴峻的考驗和挑戰。另外，通過對往屆學生的問卷調查，我們發現大部分學生在該課程考試結束后，對于群、環、域等方面所學的相關知識幾乎沒有深刻的印象，更無從談起理解和掌握近世代數課程基本的精髓和實質了。因此，作為地方本科高校數學教師，如何根據數學與應用數學專業的培養目標，結合學生實際的數學素養來組織教學工作，是一個重要的課題。

（一）改革課程內容，構建新的課程體系

首先，高校要選取適合數學與應用數學專業特點和本科學生的教材。根據該課程教學大綱要求，課程組專家通過對國內優秀近世代數教材的調查，最后確定采用張禾瑞編著的《近世代數基礎》（修訂版）。但是該教材部分內容比較簡潔抽象，例題較少，課后練習題較為容易，并且部分例題和習題與高等代數等相關基礎課程的聯系不夠緊密。所以，我們又選定兩部參考教材，分別是高等教育出版社在1999年出版的劉紹學主編的《近世代數基礎》和2006出版的胡冠章、王殿軍主編的《應用近世代數》。然后，我們從中挑選部分適合本科生認知并且容易理解的例題和習題作為補充，從而使得教學內容更加豐富。另外，我們還努力開發和利用優秀的網絡課程資源，進一步拓展了學生的學習空間。

近世代數以代數系統為主要研究目標，教材編寫時把集合中元素運算的規律和特點抽象作為不同的代數結構來研究，且將較為熟悉的函數、矩陣、多項式、變換等作為數學對象去研究，這樣就把數學知識的背景和來源掩蓋了，致使課程內容生澀難懂，概念背景匱乏并且缺乏與現實世界的聯系。為此，我們在編寫講義時，要抓住時代發展的脈搏，加強近世代數中相關知識的應用性，并增加大量的應用實例，拓展近世代數知識的應用性。比如，在編寫域相關知識時，可以適當增加有限域、正規擴域等內容，它們對計算理論、信息安全等領域有著重要的應用。還可以借助多媒體向學生介紹近世代數在物理理論、分子化學、編碼等領域的應用，讓學生看到該理論巨大的應用價值，激發學生的學習興趣。

根據數學專業培養對象的實際情況，理順課程體系，注意將講授的內容與高等代數之間的聯系理清楚，遵循學生認知規律，充分利用學生已有的代數知識結構，去構建近世代數課程中的新概念及其性質。比如，在編寫整環中因子分解講義內容時，可以把整除、唯一分解、最大公因子和不可約多項式等結論看作高等代數課程中類似結論的推廣及應用，從而清晰地讓學生認識到近世代數課程是高等代數的后繼課程，也是中學代數的深化與提高，同時還可以通過對經典定理的嚴格證明的訓練，進一步提升學生的邏輯思維和抽象思維能力。另外，我們通過介紹整數的乘除理論、同余理論等內容，讓學生在學習初等數論課程的新概念時不至于感覺太突然和生疏，并且對學校數學與應用數學專業的學生的教學實踐也說明了這些數論知識對近世代數課程的學習都起到了非常重要的作用。

（二）探索多元化的教學方法

在近世代數課程教學中，我們以傳統教學方法為基礎積極探索多種教學方法，并用來調動學生學習的積極性。在近世代數課程的教學中，教師可以通過講解數學史來激發學生的學習興趣。近世代數課程的抽象程度較高，又和現實生活聯系較少，因此，教師在課堂教學過程中要注意概念引入的自然性，并且要加以深入的解釋，讓學生知其然并知其所以然。教師還可以適時地穿插講述代數學科的歷史淵源和理論發展的過程以及和其他學科的聯系。這樣不但可以拓寬學生的學科認識，而且還培養了學生學習的興趣和激情。比如，教師可以適當地選取伽羅華、凱萊、戴德金和龐加萊等數學家的逸事、代數學界最近的研究現狀及所發生的一些事情講給學生，以激發他們學習的興趣與熱情。

在近世代數課程教學中，教師可以通過引導學生分組學習與討論來促進學生積極思考，增強教學的吸引力，從而激發學生的學習動機，提高教學效果。比如，在學習群的概念時，教師對學生進行合適的分組學習與討論，這樣更容易拓寬學生的思維，引發學生進行更多思考。在學生討論結束后通過隨機抽查的方式來調動每個學生的積極性。

在近世代數課程教學中，教師還可以通過合理引導學生進行知識遷移來培養學生的數學創新能力。近世代數是高等代數的延伸，其中有很多知識是高等代數的平行推廣，故把近世代數課程的講授與高等代數課程緊密聯系起來可以達到事半功倍的教學效果。事實上，近世代數與中學數學、數學分析、解析幾何和高等代數等課程有著緊密的聯系，在近世代數課程教學過程中，教師要積極引導學生用已有的代數知識去構建新的代數知識體系，讓學生在學習近世代數課程的過程中深入理解其知識結構，培養學生的代數學科素養，幫助學生降低學習的難度。比如，在列舉群的實例時，除常見的數域外，教師還可列舉與數學分析、解析幾何和高等代數課程相關的實例。又如在引入同構概念之前，教師可以讓學生回憶三角形全等的概念和判定方法，實際上，三角形全等是建立兩個三角形的頂點與邊的一一對應，并且還保持它們兩個點的運算結果。這樣兩個代數系統的同構本質上就是它們之間可以建立一一映射，并且該映射保持這兩個代數系統的所有運算，從而讓學生清楚地認識到他們已經在無意中接觸過比較抽象的代數知識了。

在近世代數課程教學中，教師還可以根據課程內容合理利用計算機輔助教學。近世代數課程的教學主要是講解基本理論的證明，內容比較抽象且講解方式比較單一，學生學習起來會感到冗繁枯燥。因此，我們根據課程內容特點可適當地利用計算機輔助教學，如運用GAP、Magma等近世代數相關的數學軟件。另外，我們還可以搭建網絡平臺積極促進第二課堂的開展，如正在籌建的“平院數學微助手（第二課堂）”，秉承堅持資源共享、共同進步的原則，主要用來推送經典本科數學類網絡課程與學習資料。

（三）過程化多維考核評價方式的探索

課程考核是教育評價體系的核心，是提高教學質量、檢驗教學效果和培養合格人才的重要手段。課程考核不但檢驗學生對所學知識的掌握程度、學習態度，而且還檢驗教師的教學水平、教學態度，同時還是學校教學質量監控體系的重要組成部分。

在2012年之前，學校數學與應用數學專業近世代數課程最終的綜合成績由平時成績（考勤、提問、平時作業）和期末考試卷面成績兩部分構成，其中期末考試卷面成績占70%。由下表知，三個年級近世代數課程平時成績的差異系數較低（1.52），而期末考試卷面成績（27.46）和綜合成績（16.84）的差異系數都較高。這說明學生的平時成績差異不大，不一定能反映出學生的真實水平。由下圖知，2011級數本（1）班近世代數課程期末考試卷面成績與綜合成績接近正相關，平時成績起到的作用就是提高學生的及格率。

針對課程考核中存在的問題，我們嘗試進行過程化多維考核評價方式的改革，把原來的考核方式和方法分散到各個學習過程的節點進行控制，將考核貫穿到日常教學和學習之中，做到考核過程化、階段化和形式多樣化，以達到對教學全過程的質量監控的目的，充分調動學生學習的主動性和積極性，從而促進學生重視近世代數課程的整個學習過程，進一步提高學習效果和教學質量。

近四年的實踐證明，專業課程過程化多維考核改革對促進學生學習、提高教學質量、培養高素質人才起到了重要的作用。總的來說，地方本科高校課程考核改革勢在必行。

三、結束語

筆者針對學校近世代數課程的特點，結合平頂山學院數學與應用數學專業教學的實際情況，探討了近世代數課程教學內容、教學方法、教學手段和考核方式等方面的改革，并取得了良好的教學效果。然而，近世代數課程教學改革是一項長期的研究課題，如何進一步提高近世代數的教學質量和教學效果，還需要大家共同努力。

責編：夜雨