小學生減負，從數學計算改革做起來

何曉麗

摘 要 在引入計算公式后，計算將不再是小學生學習數學的難點。公式法的引入，將大大提高學生計算的準確度與速度。只要會進行10以內的加減計算，掌握計算公式的計算規則，那么學生就可以在短時間內進行任意數位的計算。公式法的引入，使得每個數位的計算結果獨立于其他數位，更便于學生檢查、修改計算結果。該公式同樣適用于小數計算、元角分計算、米分米厘米計算、該算理可延伸用于解決時間計算等數學問題。本文將詳細討論計算公式及推導，并對公式法和傳統教學方法進行對比。

關鍵詞 小學數學 計算公式 整數計算 小數計算 元角分計算 米分米厘米計算 時間計算

中圖分類號：G633 文獻標識碼：A

0前言

何謂減負？一味減少作業量？如果有一種方法，可以幫孩子節約大量的學習時間，同時又能保證大大提高孩子計算的準確度與速度，這是否才是真正有意義的減負？作為小學低年級數學學習的重點，理、工科學習的基礎，計算能力之重要，不在此處累述。

那么在減少學習時間、降低學習難度的前提下，如何提高計算能力？

套用計算公式，降低多位數計算的基礎要求，同時提高數位計算的靈活度?，F行的整數加減計算，尤其是多位數整數加減運算，是以熟練掌握20以內加減法作為運算的基礎，且學生在計算過程中，只能從低位到高位逐位推算，一旦計算結果出錯，則需要重新計算。而公式法的引入，則只需要學生會10以內加減法即可，且每個計算數位獨立于其他數位，便于檢查、修改，在口算時可選擇從高位到低位計算，符合人類的閱讀與書寫習慣。

在學習過程中，隨著年齡、學業難度的增長，會借助很多已被科學論證的公式，幫助我們簡化思考、推理的過程。所以，作為基礎數學的計算，如果也有經過科學論證的公式，幫助小學生們簡化分解、運算過程，那么同樣值得推導與論證。

1兩個整數加減運算公式及推導

1.1補數的概念

補數是一個珠心算概念，在珠心算的教學中，學生要正確進行進位、退位的撥珠計算，則必須熟練掌握補數的概念。公式法中引入補數概念，是簡化整個計算過程的基礎。有關補數的定義如下：

補數：兩個個位整數的和為10，則這兩個數互為補數（如圖1）。

1.2加法公式

【Zn=（本位個位+后位進位）的個位】，有三種情況：

公式1：Zn=（A1+A2）n+Jn-1 （A1+A2）n<9；或 （A1+A2）n =9，后位無進位或連續進位

公式2：Zn=（A1-B2）n +J n-1 或 Zn=（A2-B1）n + Jn-1 （A1+A2）n≥10

公式3：Zn= 0 （A1+A2）n =9，后位有進位或連續進位

其中：Z—值； A—計算數； B—A的補數； J—進位；n—計算位（n>0整數，n1為個位）

1.3減法公式

【Zn =∣本位個位-后位退位∣】，有三種情況：

公式4：Zn=（A1-A2）n-T n-1 （A1-A2）n>0；或（A1-A2）n =0，后位無退位或連續退位；

公式5：Zn=（A1+B2）n-T n-1 （A1-A2）n<0；

公式6： Zn=9 （A1-A2）n =0，后位有退位或連續退位。

其中：Z—值；A—計算數；B—A的補數； T—退位；n—計算位（n>0整數，n1為個位）

2公式推導

2.1公式推導條件

10進制運算中，n位進位Jn、退位Tn與n+1位計算結果相關，在n+1位計算中已考慮n位進位Jn、退位Tn，則在Zn計算時，只需考慮n位本位個位值，及n位后面數位的進位Jn-1、退位Tn-1（含連續進位、連續退位）情況。

2.2加法公式推導

2.2.1 當（A1+A2）n<9時，Zn=（A1+A2）n+Jn-1

證明：

因為，Jn-1只有Jn-1 =1或Jn-1 =0兩種情況，

又因為，A1<10，A2<10，均為整數，

所以，當（A1+A2）n<9時，0≤（A1+A2）n+Jn-1 <10，

故，當（A1+A2）n<9時，Zn=（A1+A2）n+Jn-1 。

當（A1+A2）n =9，后位無進位或連續進位時，Zn=（A1+A2）n+Jn-1 。

證明：

因為，J n-1 =0，

所以，（A1+A2）n+Jn-1 =9

故，當（A1+A2）n =9，后位無進位或連續進位時，Zn=（A1+A2）n+Jn-1 。

2.2.2 當（A1+A2）n≥10時，Zn=（A1-B2）n +Jn-1 或 Zn=（A2-B1）n + Jn-1

證明：

當（A1+A2）n≥10時，n位計算數計算結果的個位為：

（A1+A2）n-10（進1給n+1位） = A1n+A2n-（A2n+B2n）= A1n+A2n-A2n-B2n =A1n-B2n=（A1-B2）n

或

（A1+A2）n -10（進1給n+1位） = A1n+A2n-（A1n+B1n）= A1n+A2n-A1n-B1n =A2n-B1n=（A2-B1）n

因為，A1<10，A2<10，均為整數，

所以，（A1+A2）n≥10時，0≤（A1+A2）n -10=（A1-B2）n=（A2-B1）n<9，

又因為，J n-1只有J n-1 =1或J n-1 =0兩種情況，

所以，0≤（A1-B2）n +J n-1=（A2-B1）n + J n-1≤9

故，當（A1+A2）n≥10時，Zn=（A1-B2）n +J n-1或 Zn=（A2-B1）n + Jn-1。

2.2.3當（A1+A2）n=9，后位有進位或連續進位時，Zn=0

證明：

因為，J n-1 =1

所以，（A1+A2）n+Jn-1=10

又因為，連續進位最高位（n的高位或之前若干高位）計算中已考慮n位進位或連續進位，因此n位計算應減去給其高位進位1，即n位減去10，

所以，Zn=（A1+A2）n + Jn-1-10=10-10=0 ，

故，當（A1+A2）n=9，后位有進位或連續進位時，Zn=0。

綜上證明，Zn=（本位個位+后位進位）的個位。

2.3減法公式推導

2.3.1當（A1-A2）n>0時，Zn=（A1-A2）n-T n-1

證明：

因為，A1<10，A2<10，均為整數，

所以，當（A1-A2）n>0時，0<（A1-A2）n<10

又因為，T n-1只有T n-1 =1或Tn-1 =0兩種情況，

所以，0≤（A1-A2）n-T n-1<10，

故，當（A1-A2）n>0時，Zn=（A1-A2）n-T n-1 。

當（A1-A2）n=0，后位無退位或連續退位時，Zn=（A1-A2）n-T n-1 。

證明：

因為，Tn-1 =0，

所以，Zn=（A1-A2）n-T n-1 =0，

故，當（A1-A2）n =0，后位無退位或連續退位時，Zn=（A1-A2）n-T n-1。

2.3.2當（A1-A2）n<0時，Zn=（A1+B2）n-T n-1

證明：

當（A1-A2）n<0時，

（A1-A2）n +10（n+1位退1）= A1n-A2n+（A2n+B2n）= A1n-A2n+A2n+B2n =A1n+B2n=（A1+B2）n

因為，A1<10，A2<10，均為整數，

所以，（A1-A2）n<0時，1≤（A1-A2）n +10=（A1+B2）n≤9，

又因為，T n-1只有T n-1 =1或Tn-1 =0兩種情況，

所以，1≤（A1+B2）n-T n-1≤9

故，當（A1-A2）n <0時，Zn=（A1+B2）n-T n-1 。

2.3.3當（A1-A2）n =0，后位有退位或連續退位時，Zn=9

證明：

因為，Tn-1 =1，

又因為，連續退位最高位（n的高位或若干高位）計算中已考慮給n位的退位或連續退位，因此n位計算應加上其高位退位1，即n位加上10，

所以，Zn=10-（A1-A2）n- Tn-1=10-0-1=9，

故，當（A1-A2）n =0，后位有退位或連續退位時，Zn=9。

綜上證明，Zn=∣本位個位-后位退位∣。

3公式法計算與傳統計算方法的比較

3.1 20以內加法

3.1.1【例1】7+8=15

公式法計算過程

十位：公式1，進1；

個位：公式2，7-2=5或8-3=5。

傳統數學方法計算過程

個位：分解7為5和2，8+2=10，個位為5；或分解8為5和3，7+3=10，個位為5；

十位：進1。

3.1.2 計算過程比較分析

（1）公式法：直接減補數進1，減少了分解過程。

（2）傳統算法：對7的分解，其實就是在找8的補數2；對8的分解就是在找7的補數3。其分解過程的實質就是給7減去8的補數2，進1；給8減去7的補數3，進1。

3.2多位數加法

3.2.1【例2】658+597=1255

公式法計算過程

千位：公式1，進1；

百位：公式2，6-5+1=2；

十位：公式2，5-1+1=5；

個位：公式2，8-3=5。

傳統數學方法計算過程

個位：8+7，進行數的分解，8+2=10，10+5=15，進1得5；

十位：5+9+1，對5+9進行數的分解，9+1=10，10+4=14，14+1=15，進1得5；

百位：6+5+1，對6+5進行數的分解，6+4=10，10+1=11， 11+1=12，進1得2；

千位：進1。

3.2.2 計算過程比較分析

（1）公式法：

①計算基礎要求低，只在進行10以內運算；

②計算數位獨立、靈活，便于檢查、修改。

③ 大大降低口算的難度?？芍苯訌淖笸覍懗龃鸢福c人的書寫閱讀習慣保持一致。

（2）傳統算法：

①進行的20以內運算，計算基礎要求高。如果學生基礎不好，還需再進行數的分解，完成一次20以內的分解運算過程；

②計算順序固定，數位與數位之間有連帶關系，檢查、修改答案復雜，需重新計算一次，或者完成一次逆運算。

③口算難度大。從低位往高位計算與人的書寫、閱讀習慣相斥。

3.3多位數連續進位加法

3.3.1【例3】1368+2639=4007

公式法計算過程

千位：公式1，1+2+1=4；

百位：公式3， 0；（連續進位）；

十位：公式3， 0； （連續進位）；

個位：公式2，8-1=7。

傳統數學方法計算過程

個位：8+9=17， 進行數的分解，9+1=10，10+7=17，進1得7；

十位：6+3+1=10，進1得0；

百位：3+6+1=10，進1得0；

千位：1+2+1=4。

3.3.2計算過程比較分析

比較結果與【例2】一致。

3.4 20以內減法

3.4.1【例4】11-7=4

公式法計算過程

十位：公式4，退1；

個位：公式5，1+3=4。

傳統數學方法計算過程

個位：10-7=3， 1+3=4；

十位：分解11為1和10，退1。

3.4.2計算過程比較分析

（1）公式法：被減數個位1直接加減數7的補數3，減少分解過程，降低了計算難度。

（2）傳統算法：將11分解為1和10，10-7其實就是在計算7的補數的過程。經計算7的補數為3后，再進行1+3的計算。

3.5多位數減法

3.5.1【例5】4645-2798=1847

公式法計算過程

千位：公式4，4-2-1=1；

百位：公式5，6+3-1=8；

十位：公式5，4+1-1=4；

個位：公式5，5+2=7。

傳統數學方法計算過程

個位：5-8不夠減，十位退1，15-8，15分解為5和10，10-8=2，5+2=7；

十位：4-9-1不夠減，百位退1，14-9-1。會簡便方法則得4，如不會，則分解14為4和10，10-9=1，4+1-1=4；

百位： 6-7-1不夠減，千位退1，16-7-1，分解16為6和10，10-7=3，6+3-1=8；

千位：4-2-1=1。

3.5.2計算過程比較分析

比較結果與【例2】一致。

3.6多位數連續退位減法

3.6.1【例6】5346-2349=2997

公式法計算過程

千位：公式4，5-2-1=2；

百位：公式6， 9，（連續退位）

十位：公式6， 9；（連續退位）

個位：公式5，6+1=7。

傳統數學方法計算過程

個位：6-9不夠減，十位退1，16-9，16分解為6和10，10-9=1，6+1=7；

十位：4-4-1不夠減，百位退1，14-4-1，14-4=10，10-1=9；

百位：3-3-1不夠減，千位退1，13-3-1，13-3=10，10-1=9；

千位：5-2-1=2。

3.6.2計算過程比較分析

比較結果與【例2】一致。

4公式法在其他計算問題中的應用

公式法的引入，使得十進制運算，全部都可以輕松解決，包括小數運算和元角分及米分米厘米。

小數運算其實同多位數加減法并無實際區別，只需對照小數點確定加減對應的位數，運算完成后，將小數點位放置正確即可。

4.1小數計算

【例7】7.86+5.08=12.94

十位：公式1，進1；

個位：公式2，7-5+0=2；

十分位：公式1，8+0+1=9；

百分位：公式2，6-2=4。

【例8】11.25-6.78=4.47

十位：公式4，退1；

個位：公式5，1+4-1=4；

十分位：公式5，2+3-1=4；

百分位：公式5，5+2=7。

4.2元、角、分的計算（也可轉化為小數問題解決）

【例9】5元4角+2元7角4分=8元1角4分

元：公式1，5+2+1=8。

角：公式2，4-3+0=1。

分：4。

【例10】8元-6角3分=7元3角7分

元：公式4，8-0-1=7；

角：公式5，0+4-1=3；

分：公式5，0+7=7。

5.3米、分米、厘米的計算（也可轉化為小數問題解決）

【例9】7米5分米8厘米+6米7分米5厘米=14米3分米3厘米

米（十位）：公式1，進1

米（個位）：公式2，7-4+1=4

分米：公式2，5-3+1=3

厘米：公式2，8-5=3

【例10】25米-3米6分米6厘米=21米3分米4厘米

米（十位）：公式4，2；

米（個位）：公式4，5-3-1=1；

分米：公式5，0+4-1=3；

厘米：公式5，4。

5公式法算理的延伸

5.1時間計算

同樣先引入補數概念，時間是60進制，也就是一個數和它的補數之和等于60。

【例11】李老師7：40出發，9：15分到開會地點，請問路上走了多久？

解題思路：（分鐘數不夠減，時鐘數退1加補數）

時：9-7-1=1

9：15-7：40=1時35分

答：路上走了1時35分。

7結語

公式法，已被重慶市樂數藝術培訓有限公司在實踐中驗證，可以大大提升孩子計算的速度及準確度。愿每一個孩子的學習過程，能夠降低一點難度，多收獲一份成就與快樂。

參考文獻

[1] 王衛達.新編珠心算[M].武漢：湖北人民出版社，2014.