影響矩陣法在系桿拱橋成橋二次調(diào)索中的運(yùn)用

徐傳昶，魯從森，王行耐

(1.山東高速工程檢測(cè)有限公司，山東 濟(jì)南 250002；2.中鐵二十三局集團(tuán) 第一有限工程公司,山東 日照；3.山東交通學(xué)院 交通土建工程學(xué)院，山東 濟(jì)南 250357)

系桿拱橋具有自身特殊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，某些部件、構(gòu)件的損傷在一定時(shí)間內(nèi)不會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)整體破壞，難以在日常管養(yǎng)中發(fā)現(xiàn)，如吊桿力的損失，吊桿錨固體系的松動(dòng),混凝土結(jié)構(gòu)隨時(shí)間變化的收縮徐變,橋址周圍樁基基礎(chǔ)的不均勻沉降,以及施工期間遺留的質(zhì)量隱患等，這些問題會(huì)隨著運(yùn)營(yíng)期間不同外荷載作用下的疊加效應(yīng)，對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生不利影響，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)損傷增加。調(diào)整系桿拱橋吊桿是后期改善結(jié)構(gòu)內(nèi)力的直接手段，對(duì)存在吊桿力損失嚴(yán)重的系桿拱橋進(jìn)行吊桿力調(diào)整或換索，可以改善系桿拱橋整體內(nèi)力。為使調(diào)索工作高效、合理，需嚴(yán)格控制調(diào)索過程。目前，國(guó)內(nèi)多座系桿拱橋進(jìn)行了施工期的二次調(diào)索，但是對(duì)系桿拱橋成橋運(yùn)營(yíng)期后的二次調(diào)索，實(shí)施系統(tǒng)地施工控制的工程實(shí)例較少。

調(diào)索的理論研究主要有最小二乘法[1]、最小彎曲能量法[2]、彎矩最小法[3]、影響矩陣法[4]等。最小二乘法是使求得的數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)之間的誤差平方和最小，需要通過反復(fù)迭代的方式進(jìn)行計(jì)算；最小彎曲能量法通過采用橋梁結(jié)構(gòu)的彎曲余能為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行計(jì)算；彎矩最小法是把彎矩平方和作為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行計(jì)算。以上三種理論都應(yīng)在結(jié)構(gòu)分析中變化結(jié)構(gòu)的模式，而影響矩陣法通過將優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)統(tǒng)一用索力變量與廣義影響矩陣表示，能夠同步對(duì)多個(gè)目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)程序化計(jì)算非常便捷。

本研究采用影響矩陣法的理論[5-7]計(jì)算方法，對(duì)吊桿索力進(jìn)行求解，確定合理的調(diào)索順序,并以一座吊桿力損失嚴(yán)重的系桿拱橋?yàn)楣こ瘫尘埃?yàn)證影響矩陣法的應(yīng)用，使全橋吊桿力達(dá)到設(shè)計(jì)索力的情況下同時(shí)滿足結(jié)構(gòu)的安全性，該方法具有方法清晰、簡(jiǎn)單、計(jì)算準(zhǔn)確的特點(diǎn)。

1 運(yùn)營(yíng)期調(diào)索的影響矩陣法

1.1 影響矩陣法理論

受調(diào)向量是指控制斷面上m個(gè)相互平行的獨(dú)立因素構(gòu)成的列向量。獨(dú)立因素主要由控制斷面內(nèi)力或位移構(gòu)成。在調(diào)整計(jì)算中均為受調(diào)元素，以便通過計(jì)算、調(diào)整達(dá)到預(yù)定的目標(biāo)值。受調(diào)向量表示為：

D=(d1d2…dm)T。

施調(diào)向量是指通過調(diào)整可以影響受調(diào)向量的單一獨(dú)立因素(1，2，…，m)所組成的列向量。記為：

X=(x1x2…xn)T。

施調(diào)因素大多為結(jié)構(gòu)的內(nèi)力、位移。

影響向量是指施調(diào)向量?jī)?nèi)第j個(gè)因素xj產(chǎn)生的單位變化導(dǎo)致受調(diào)向量D的變化向量，記為：

Ai=(a1ja2j…amj)T。

影響矩陣是指導(dǎo)致每一個(gè)施調(diào)向量產(chǎn)生的單位變化，引起的1個(gè)影響向量按順序組成的矩陣組列，表示為：

(1)

影響矩陣的構(gòu)成中，因素可以是內(nèi)力或位移等多個(gè)向量中的任意一個(gè)，也可能是內(nèi)力或位移的相互疊加影響。理論上只要將單位施調(diào)向量逐一施加到系桿拱橋分析結(jié)構(gòu)上，逐一計(jì)算出對(duì)應(yīng)的影響向量，把各影響向量拼合成結(jié)構(gòu)的影響矩陣。

采用結(jié)構(gòu)有限元法計(jì)算影響矩陣的步驟為：

1)形成調(diào)值計(jì)算階段的結(jié)構(gòu)總剛度，并進(jìn)行三角化分解。

2)令j號(hào)施調(diào)元調(diào)整量為1(若為內(nèi)力，則通過單位強(qiáng)迫變形實(shí)現(xiàn))，形成相應(yīng)的結(jié)構(gòu)荷載向量，最后回代求對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)變形。

3)對(duì)受調(diào)元i循環(huán)，計(jì)算對(duì)應(yīng)的受調(diào)因素di：若di為位移，則通過求解的位移向量，提煉出該調(diào)值點(diǎn)對(duì)應(yīng)方向的位移作為j列影響向量的第i個(gè)因素aij；若di為內(nèi)力，則通過位移向量分析出相應(yīng)調(diào)值截面相應(yīng)方向的內(nèi)力作為aij；若di為應(yīng)力，就由內(nèi)力求出相應(yīng)點(diǎn)的內(nèi)力作為aij。

重復(fù)2)和3)步驟，便能得到所有影響向量，進(jìn)而得到影響矩陣A。

若受調(diào)向量和施調(diào)向量的因素相同，此類調(diào)值分析是等變量的調(diào)值分析。在系桿拱橋結(jié)構(gòu)為線性關(guān)系累加時(shí)為：

AX=D，

(2)

由式(2)可分析得到唯一一種施調(diào)向量X。若要控制斷面力學(xué)參數(shù)達(dá)到D，就要使得施調(diào)向量產(chǎn)生X的對(duì)應(yīng)的變化為：

X=A-1D，

(3)

通過進(jìn)行影響矩陣的分析求解后，便能得到對(duì)應(yīng)的索力施調(diào)量。在受調(diào)向量數(shù)n以及施調(diào)向量數(shù)m相同的情況下，可由式(3)求得單一一個(gè)施調(diào)索力向量X[8]。

1.2 系桿拱橋調(diào)索影響矩陣形成原理

成橋運(yùn)營(yíng)期的系桿拱橋的結(jié)構(gòu)調(diào)索分析，其實(shí)是為了尋找一種最優(yōu)的吊桿力調(diào)整方法。通過影響矩陣的調(diào)索計(jì)算方法，在滿足多個(gè)目標(biāo)的情況下，實(shí)現(xiàn)吊桿力調(diào)整的調(diào)整量和最優(yōu)的調(diào)索張拉順序[9]。

為使成橋運(yùn)營(yíng)期后吊桿力調(diào)整過程科學(xué)、快捷，需要計(jì)算得到一個(gè)最優(yōu)的吊桿張拉順序以及吊桿力調(diào)整量序列[10-18]，并且在整個(gè)調(diào)索施工過程中，內(nèi)力、位移和吊桿力不能超過一定閾值的情況下，最終吊桿力達(dá)到目標(biāo)值。以調(diào)索前的結(jié)構(gòu)實(shí)際狀態(tài)為結(jié)構(gòu)初始狀態(tài)。初始狀態(tài)下的索力矩陣Tc、控制截面應(yīng)力矩陣σc分別為：

Tc=[Tc1Tc2…Tcn]T，

σc=[σc1σc2…σcn]T

通過影響矩陣法計(jì)算得到吊桿力的影響矩陣為AT，AT是一個(gè)n×n階的矩陣組列，矩陣中的元素ATij為j號(hào)施加單位力1的時(shí)候?qū)號(hào)吊桿力產(chǎn)生的響應(yīng)值。設(shè)調(diào)索后的目標(biāo)吊桿力為Tm，施工中需要調(diào)整的吊桿力向量為Ts，則有：

Tm=Tc+AT·Ts，

施工中需要調(diào)整的吊桿力

Ts=AT-1·(Tm-Tc)。

需要在施工中調(diào)整的吊桿力向量確定后，施工中無論先調(diào)整哪根吊桿力，只要按照求出的吊桿力調(diào)整值調(diào)整，均能達(dá)到預(yù)先設(shè)定的目標(biāo)吊桿力。但是為了簡(jiǎn)便、科學(xué)、快捷，還是要根據(jù)求出的吊桿力調(diào)整值，確定一種最快捷的調(diào)索順序，同時(shí)該調(diào)索順序還需使得結(jié)構(gòu)內(nèi)力和位移為最優(yōu)狀態(tài)。

把吊桿在各個(gè)施工階段對(duì)應(yīng)的工況下產(chǎn)生的吊桿力作為目標(biāo)控制函數(shù)，同時(shí)對(duì)各個(gè)施工階段中結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)產(chǎn)生的應(yīng)力和位移設(shè)定一個(gè)變化范圍，使得應(yīng)力和位移在產(chǎn)生最小變化值的情況下，得到一個(gè)最合理的調(diào)索順序X=[x1x2…xn]T。

建立一個(gè)單目標(biāo)、多約束條件的求解問題：

得到X=[x1x2…xn]T,使得

通過運(yùn)用懲罰函數(shù)法[19]把以上所列的單個(gè)目標(biāo)、多約束問題變成無約束的問題，最終得到一個(gè)最優(yōu)的吊桿力施工順序X[20]。

2 工程應(yīng)用

2.1 工程概況

施調(diào)橋梁為跨徑組合(24+36+24)m的下承式鋼筋混凝土連續(xù)系桿拱橋。系桿采用預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)，吊桿布置在拱片內(nèi)，主跨縱向設(shè)8對(duì)吊桿，邊跨縱向均設(shè)5對(duì)吊桿，吊桿間距均為4 m。每對(duì)吊桿由橫向間距為0.9 m的兩根吊桿組成。本次調(diào)索計(jì)算采用有限元分析軟件Midas Civil，全橋共504個(gè)節(jié)點(diǎn)，839個(gè)單元，其中803個(gè)梁?jiǎn)卧?6個(gè)桁架單元，吊桿按只受拉桁架單元模擬。

a)橋梁立面圖 b)有限元模型圖圖1 橋梁布置圖

調(diào)索前吊桿力實(shí)測(cè)值見表1。

表1中的吊桿力實(shí)測(cè)值作為該橋調(diào)索前的索力。確定結(jié)構(gòu)實(shí)際的索力狀態(tài)后，在計(jì)算前把吊桿錨頭位置作為關(guān)鍵控制斷面，把錨頭斷面位置的初始位移值設(shè)定為零，初始應(yīng)力為目前實(shí)際的應(yīng)力。根據(jù)影響矩陣的方法就可以計(jì)算出該截面的應(yīng)力、豎向位移的影響矩陣。

2.2 結(jié)果分析

施調(diào)大橋共36對(duì)吊桿，左右對(duì)稱張拉，由式(1)方法得出吊桿力影響矩陣，吊桿力相互影響矩陣構(gòu)成元素見表2。

表3為吊桿力調(diào)整后最終值與設(shè)計(jì)值比較。

表1 吊桿力 kN

表2 吊桿力影響矩陣構(gòu)成元素

通過以上方法進(jìn)行了成橋吊桿力二次調(diào)整，調(diào)整后的成橋吊桿力的理論值與實(shí)測(cè)值相差均在±10%以內(nèi)。

橋梁結(jié)構(gòu)模型理論計(jì)算位移如圖2所示。

調(diào)索前橋面線形較平順，調(diào)索后各跨橋面起拱呈拋物線狀分布，實(shí)測(cè)線形與模型計(jì)算結(jié)果吻合較好，見圖3。跨中橋面抬高較明顯，其中東側(cè)中跨跨中實(shí)際抬高82.7 mm，略高于理論值(79.7 mm)；西側(cè)中跨跨中實(shí)際抬高85.8 mm，略高于理論值(82.3 mm)。部分測(cè)點(diǎn)高程略微高于理論計(jì)算值是因?yàn)闃蛄合盗捍嬖谛绷芽p，使橋梁整體剛度相較理論狀態(tài)有所降低所致。

表3 吊桿力調(diào)整后最終值與設(shè)計(jì)值比較

a)調(diào)整前理論位移 b)調(diào)整后理論位移圖2 調(diào)整前后理論位移變化圖

a)東側(cè)調(diào)索前后橋面線形 b)西側(cè)調(diào)索前后橋面線形圖3 調(diào)整前后橋面線形變化圖

3 結(jié)語

本研究以影響矩陣?yán)碚摓榛A(chǔ)，建立了運(yùn)營(yíng)期系桿拱橋吊桿力調(diào)整數(shù)學(xué)模型，并在實(shí)橋吊桿力調(diào)整施工中進(jìn)行監(jiān)控，從整個(gè)調(diào)索施工過程中對(duì)受控變量的理論仿真結(jié)果和實(shí)測(cè)結(jié)果及其對(duì)比結(jié)果可以看出，橋梁調(diào)索過程中吊桿力控制結(jié)果較好，橋梁結(jié)構(gòu)在施工過程中一直處于安全狀態(tài)；橋面線形控制的精度比較高，且這些受控變量的量值在施工過程中變化的趨勢(shì)與理論值趨勢(shì)相一致，監(jiān)控效果理想。本研究成果為運(yùn)營(yíng)期系桿拱橋吊桿力調(diào)整計(jì)算提供了一定的參考，同時(shí)為下一步深入研究運(yùn)營(yíng)期系桿拱橋索力調(diào)整監(jiān)控提供了一定的借鑒。