高中數學與大學數學的內容銜接與思維方式轉變

鐘麗華

【摘要】高中數學和大學數學有著密切的聯系，但在思維方式上又存在著一定的轉變。本文主要以函數，反函數，微分，導數和多元函數為例，分析了高中數學和大學數學的內容銜接和思維方式轉變的問題。從微分的實質，導數的意義，以及如何判斷兩個函數是否互為反函數這幾個方面出發，詳細的介紹了關于高中數學與大學數學的內容銜接與思維方式轉變的思考。

【關鍵詞】高中數學 大學數學 內容銜接 思維方式

高中數學的很多內容和大學數學是有著很大的聯系，在知識方面存在很大的重合性，在高中緊張的學習下，對大學的數學進行適當的了解，明白兩者之間的差異性，思考在內容方面的銜接點，無論是對當前的學習還是對以后大學的學習都有很大的幫助，本文主要以《高等數學》（第七版）和《高中數學》（人教版）為例，從幾個關鍵點入手，探討了這兩個階段數學學習的差異性，更加深刻的研究了高中數學與大學數學學習中相關思維方式的轉變問題。

一、關于導數與微分的內容銜接與思維方式的轉變

在高中數學，我們對導數就有著一定的了解，在導數的定義與導數的簡單計算公式方面也有著一定程度上的學習。在《高中數學選修1））（人教版）的學習中，導數的實質是：因變量與自變量兩個變量的比值，在自變量無限趨近于零的變化過程中，導數y，就是平均變化率的逼近值，在圖像的表達中就是反映了函數曲線在對應點的切線斜率問題。在高中對導數意義的了解就局限于圖像的表達和計算方式，導數的意義也就局限于基礎階段。在大學的數學學習中，就是以高中數學的學習為基礎，拓寬了導數的知識面積，增加了微分的學習。在對大學數學教材中微分的定義進行分析中，我們可以很清楚的了解到微分dy是函數改變量八y的線性主部，其實質上就是“量”的問題。在對一元函數進行研究過程中，導數和微分存在著一定的等價關系，在數學上他們互為充分必要條件，從公式dy=y”△x中可以清楚的知道，函數的微分即△y的近似值等于變化率乘以自變量的改變量，雖然在對微分的計算時要借助導數計算，但這兩者卻存在著本質的差別，在這一點上的理解沒有做到最好，從而對高中數學導數和大學數學微分進行銜接的時候就會出現很大的問題，最終造成數學學習的前后混亂的局面，因此，做好對數學學習的銜接，加強對思維方式的轉變尤為重要。

二、關于反三角函數內容的銜接與思維方式的轉變

高中對反三角函數的學習并沒有涉及多少，只是在個別題中老師會有所提到，對其更是沒有進行更加深入的講解。在大學階段對微積分研究的對象就是函數，通過利用極限，導數等數學工具對一元函數和多元函數的微分和積分問題進行學習。高中對函數的認識也就在于定義域，值域，單調性等方面，這些在大學階段有很多都起到了很好的銜接作用，而在眾多的函數中，對反三角函數的認識和學習沒有非常深入的了解，就以反三角函數為例，高中我們接觸過反函數，知道反函數與原函數圖像的關系以及變化的原則，在大學所接觸到的反三角函數在很多方面有著相似點，但又存在著許多不同的地方，這就會給我們的學習帶來很大的困擾，因此，在對反三角函數進行學習前，首先要對反函數的概念進行更加深入的了解，如：對①Y=X+6，②X=Y-6，③Y=X-6進行認真的分析我們可以發現，函數①與函數②之間互為反函數，圖像相同，函數②和函數③之間，函數相同且圖像關于直線Y=x對稱。從這一個例子我們可以看出，一個函數與另一個函數是否互為反函數，關鍵就要看這兩個函數的對應法則是否互逆，與表達自變量和因變量的符號沒有任何關系，從函數②到函數③的變化過程中，對其變量的符號進行互換，就會存在普遍所認同的函數與其反函數關于Y=X對稱的問題。在對大學微分進行學習的過程中，就可以通過上述的方法進行指導學習，以函數y=cosx為例，把它與函數x=arccosy與函數y=arccosx之間的關系弄清楚，再進一步對反三角函數進行學習，這樣就不會出現概念混亂的局面，況且，在對反三角函數進行學習的過程中，可以加強對老師所延伸的各種概念的總結，做到在反三角函數學習上的突破。

三、關于一元函數與多元函數的銜接與思維方式的轉變

高中對函數的學習大多數是限于一元函數和二元函數，對三元以上的多元函數的接觸非常少，而在大學的微積分課程中出現了多元函數微積分的相關內容，在這里面蘊含著數學學習中點，線，面，的抽象思維。比如，一個點是沒有長度的，但是無數多個點連接在一起就有了長度，一條直線是沒有面積的，無數個直線并排在一起就有了面積，一個平面是沒有體積的，但無數個平面堆疊在一起就有了體積，從一元函數到多元函數的轉變中，也就是圖形中“由線到面”的轉變。通過這樣的思維方式，我們更是可以結合定積分定義中的微元法，采用“以直代曲”的方式，理解一元函數定積分實際上是被積函數對應的曲邊梯形面積問題，即“從線到面”的轉變，再進一步的思考，二元函數的雙重積分也就是被積函數曲面對應的曲頂柱體的體積問題，即“從面到體”的轉變。由此可見，在函數的學習上，高中數學中函數和大學數學中的函數存在著很大的銜接，在思維上存在著一定的差異性，要學好大學數學中的函數，積分等問題，就要對高中數學中的函數問題有著極其深刻的認識，在最大的程度上做好對函數的了解和認知。

通過對以上幾類數學問題的研究我們可以發現，高中數學的學習方法通過進一步的研究和應用，就成為了探討大學數學學習的重要方法，大學數學學習的基礎大部分都來源于高中數學，只是在思維方式上有著一定的差別，只要對思維方式加以合理的改變，對大學的數學學習并不會有太大的影響，因此，做好對高中數學和大學數學的銜接，加強對思維方式的轉變至關重要。

四、結束語

綜上所述，對高中數學的學習也就是對大學數學的學習，高中數學里包含著大量的大學數學知識，只是大學數學在一定程度上對其進行了延伸和拓展，但是，并不是意味著所有的思維方式都可以按照高中的模式來進行學習，大學的數學學習與高中相比存在著思維的轉變，它需要更多的思考和總結，高中只是局限于平面的研究，而大學則是對立體的事物進行研究，通過立體圖形來解決問題，因此，明白高中數學與大學數學的內容銜接和思維方式的轉變對大學數學學習有很大的幫助，更會帶來更多的效益。

參考文獻：

[1]宋春雨淺談經濟管理類數學課程與高中數學課程的銜接[J].科技風，2017，（2）.

[2]袁利國.高等數學與高中數學的銜接比較研究[J].大學教育，2016，（11）.