常見遞推數列在高考中的應用

陳培

摘 要：遞推數列是一類廣泛而復雜的數列問題，具有邏輯推理性強，求解方法開放靈活，是近幾年高考考查的主要內容之一，并且占有一定的分數比例。

本文就高考中經常出現的一些遞推數列問題進行探討研究。

關鍵詞：高中數學；數列；遞推關系；通項公式

雖然由數列遞推公式求數列的通項式的題目，題型多樣，解答方法靈活多變，但我們一般在求解遞推數列問題的時候，通常采用一下兩種策略：

1.探索化歸：主要是運用轉化思想將其化歸為等差數列或等比數列這兩類基

本數列的問題。

2.列式建模：如果所涉及的問題不能轉化為特殊數列，一般通過細心觀察、

尋找規律，對遞推關系式的拼、拆、湊等的變形，從而構建出新的數列，從

而使問題得以解決。

通過整理歸納，常見的幾種類型遞推式可歸納如下：

1.形如： = +f（n）

處理方法：迭加法或迭代法，即取 n =1，2，3，…，n - 1.得 n - 1 個式子：

= +f（1）

= +f（2）

… … …

= +f（n-2）

= +f（n-1）

將以上式子迭加得到： = +f（1）+f（2）+ +f（n-1）

例1：已知數列{ }中， =1， - =2（n-1），求通項 .

解：由 - =2（n-1）知，

- =2

- =4

… … …

- =2n-4

- =2n-2

將以上式子迭加得到： = +[2+4+ +（2n-2）]=1+n（n-1）= -n+1

引申： =p +f（n）型該如何求解？（若p=1，即為類型1的問題），下面研究一下p 1的情況。

思考：若數列{ }滿足 =1， = +2n-1（n ），求通項 .

解：設 = +An+B，

則 = -An-B， = -A（n-1）-B，

所以 -An-B= = [ - A（n-1）-B]+2n-1，

即 = +（ A+2）n+（ A+ B-1）

令 A+2=0， A+ B-1=0，得A=-4，B=6，

所以{ }是以3為首項， 為公比的等比數列。

所以 =3 .

故3 = -4n+6

=3 +4n-6.

2.形如： = f（n）

處理方法：迭乘法或迭代法，即取 n =1，2，3，…，n - 1.得 n - 1 個式

= f（n-1）= f（n-2） f（n-1）= f（n-3） f（n-2） f（n-1）= = f（1） f（2） f（n-2） f（n-1）

例2：已知數列{ }中， =1， = ，求通項 .

解：由 = 知：

= =（ ） =（ ） = = = =

3.形如： = +p

處理方法：換元法。即等式兩邊同時除以 ，得到 - =p

則{ }是以 為首項，p為公差的等差數列。

例3：已知數列{ }中， =1，3 + =3 ，求通項 .

解：等式兩邊同時除以 得：3 +1=3

即 - =

所以{ }是以 =1為首項， 為公差的等差數列。

=1+ （n-1）= n+

故 =

4.形如： =p +q（其中p，q為常數，p 1）

處理方法：換元法（輔助數列法）

方法一：令 + =p（ + ），展開整理，再對比 =p +q知： =

即 + =p（ + ）

所以{ + }是以 + 為首項，p為公比的等比數列。

方法二：由 =p +q（1）

=p +q（2）

（1）-（2）得： - =p（ - ）

則{ - }是等比數列，，求出 - ，此時就變為類型1形如： = +f（n）

的遞推公式，再利用迭代法即可求出。

例4：已知數列{ }中， =1， =3 +2，求通項 .

解：設 + =3（ + ），得設 =3 +2

又 =3 +2

=1

+1=3（ +1）

{ +1}是以2為首項，3為公比的等比數列

+1=2

=2 -1

5.形如： =p + （其中p，q為常數，p 0）

處理方法：換元轉化法

即將上式轉化為： = +

令 = ，則 = + ，以下就轉化為類型4的問題了。

例5：已知數列{ }中， =1， =3 + ，求通項 .

解：把 =3 + 兩邊同時除以 ，

= +

令 = ，則 = + （下面的做法如同類型4里的例題）

設 + = （ + ），則 = +

所以， =1，即 +1= （ +1）

{ +1}是以 +1= +1= 為首項， 為公比的等比數列。

+1= ， = -1

= [ -1]= -

6.形如： =p +q （pq 0）

處理方法：換元轉化法

令 + =k（ + ），展開得 =（k- ） +k

對比 =p +q 知，k- =p，k =q，求出， 的值，

則{ + }是以k為公比的等比數列，從而可以求出 + 的表達式，下面的問題就轉化為以上其他類型的問題了。

例6：已知數列{ }中， =1， =2， = + ，求通項 .

解：令 + =k（ + ），整理比較得，k=- ， =-1.

所以 - =- （ - ），故{ - }是以 - =1為首項，- 為公比的等比數列。

所以， - =

下面就轉化為類型1的問題了，

易得， = +1+（- ）+ + + + =1+ .

思考與練習：

1.已知數列{ }中， =2， ，求通項 .（ = ）

2.已知數列{ }中， =2， ，求通項 .（ = ）

3.在數列{ }中， ， =2，求通項 .

解：由 可得出： ，即 ，

令 = ，則 - = ，（轉化為類型1的題目）

- = ， - = ， - = ， ， = ，

將以上（n-1）個式子相加，得 - = + + + + ，

= + + + + + =1-

所以 = .

通過以上的幾種類型的求解，我們可以看出此類問題有廣度和創新度，可以提高學生分析問題和解決問題的能力，有利于培養學生的數學思維能力；解決這類題目方法是由已知遞推式向特殊數列（比如等差、等比數列）轉化，先求出轉化后的特殊數列的通項公式，再求出原數列的通項公式。

參考文獻

[1] 熊衛 遞推數列求通項公式 科學教研雜志 2009年11月

[2] 栗繼鵬 由數列遞推式求數列通項式的方法歸類解析 科學時代 2009年第一期

[3] 馬文淵 如何由數列的遞推式求通項公式 學周刊 學術研究 2013年第10期

[4] 王建莉 關于遞推數列的研究 陰山學刊 2015年3月

（作者單位：安徽省淮南市第三中學）