以教材的一個常見函數為背景命制原創試題

安徽 張 威 蔣玉芳

我們知道原創試題是教師的一項重要的、經常性的工作．原創一份高質量的數學試題，不僅能讓教師準確地了解教學效果，還有利于提高學生的數學能力．每位教師原創試題的手段又是多種多樣的,對于筆者來說，原創的試題主要有兩個來源：一是通過教材的重要知識點新編試題；二是通過經典的高考或模擬題進行改編．本文主要介紹“通過教材的重要知識點新編試題”.以下是筆者通過教材上的一個重要函數進行原創試題的一些感悟.

又當x>1時，f(x)>0；當0

又當x>1時，f(x)<0；

當00.

故大致的圖象如下：

我們的目標是要證明:

由歸納假設,我們得到了①,下面我們用分析法來證明②式.

只需證ln(k+1)2

因為lnx≤x-1,

令x=(k+1)2,即ln(k+1)2≤(k+1)2-1,

也就是ln(k+1)2

學生反思過程中，對上題的思路過程進行進一步的整理和提煉，可以應用上面題的一些思路，一些方法.對比兩題的結果，大家可以知道其實是同一個題型以不同的形式呈現給了學生，倘若學生停留在解決這個題，那只能是愚公移山，費時費力，這樣學生會后勁不足，學習動力欠缺，只有不斷反思思路過程,解題方法，才能舉一反三，思維敏捷，事半功倍.

數學經典函數lnx≤x-1及其應用同樣出現在2017年普通高等學校招生全國統一考試(全國卷Ⅲ)理科數學中.

(作者單位：廣東省中山市第二中學)

【點評】實數a的大小及正負決定該函數的單調性和最值，在原創和該函數有關的試題時，可以根據需要對a進行賦值，使得數據或者其它方面更完美.

接下來筆者以該函數為背景,以函數零點問題和含參不等式問題為命題點進行命題.

1.考查分離參數法和數形結合思想

【原創1】若函數g(x)=2lnx-mx(m∈R)存在兩個不同的零點，則m的取值范圍是________.

2.考查分離函數法和數形結合思想

【原創3】已知函數f(x)圖象與函數g(x)=-2ln(-x)+mx2+2的圖象關于點(0,1)對稱，若函數y=f(x)有兩個不同的零點，則實數m的取值范圍是________.

【命題思路】此題是以【原創2】為背景，把函數對稱性與函數零點交匯考查，那么可能讀者會問，函數g(x)=-2ln(-x)+mx2+2是怎么想到的呢？其實很簡單，是在題目“若函數f(x)=2lnx-mx2有兩個不同的零點，則實數m的取值范圍是________.”基礎上填充交匯的知識點，即求函數f(x)=2lnx-mx2關于(0,1)的對稱函數即可.通過此題的命制思路，可進一步命制考查軸對稱、奇偶性等試題.

【命題思路】了解此題的本質為“設函數y=-mx2(x<0)關于原點對稱的函數為g(x)，若方程g(x)=2lnx有兩個不同實根，則實數m的取值范圍是________.”再根據【原創2】、【原創3】即可進一步了解此題的來龍去脈.

3.考查二次函數型函數零點和數形結合思想

【原創5】已知函數g(x)=8e(lnx)2-(2e+8)x|lnx|，f(x)=-2x2，則方程g(x)-f(x)=0的實數根個數是________.

【本題答案】4.

【原創6】已知函數g(x)=4e(lnx)2-(2em+4)x|lnx|+2mx2，若函數g(x)有5個不同的零點，則實數m的取值范圍是________.

1.考查分離函數法和導數的幾何意義及數形結合思想

【原創8】已知函數f(x)的圖象與函數g(x)=-4ln(-x)-kx+2的圖象關于點(0,1)對稱，若存在有且只有兩個整數x滿足不等式f(x)>kx2，則實數k的取值范圍是

( )

【本題答案】D.

2.考查一元二次不等式、數形結合思想和分類討論思想

【命題思路】利用一元二次不等式解法和函數圖象及性質命制.

【本題答案】m>-2e.

【原創10】已知函數g(x)=4e(lnx)2-(2em+4)x|lnx|+2mx2，若關于x的不等式g(x)<0恰只含有一個整數解，則實數m的取值范圍是________.

綜上所述，命制新題時需要注意以下幾個方面：

(1)選擇命題點，只有命題點確定，才有命題的方向；

(2)構造實質性的基礎題目并研究其可行性，通過對基礎題目的研究，才能更清晰、更準確、更完美的命制出需要難度的新題；

(3)填充需要的交匯的知識點，對于交匯知識點的填充，要根據題目難度、高考以及基礎題目的本身進行填充；

(4)對題目進行重組和變化基礎題目的形式，因為基礎題目一般很容易就能看出題目的本質，所以需要對基礎題目和交匯知識點進行重組和變化，使得題目的本質被掩蓋，這樣更能考查學生的分析和解決題目的能力;

(5)進一步對題目進行打磨，主要從科學性、邏輯性、獨立性以及語言表達等方面做最后的審定和修改．