淺談“數形結合”思想在高考數學中的應用

甘肅 謝彥仁

數形結合，就是根據數與形之間的對應關系，通過把數量關系的問題轉化為圖形的性質問題去討論或者把圖形的性質轉化為數量關系來研究，從而解決數學問題的一種重要的思想方法.

縱觀近年來的高考試題，數形結合思想作為一種重要的數學思想方法已成為解答高考數學試題的一種常用方法與技巧，特別是在解決選擇、填空題時發揮著奇特功效.巧妙運用數形結合的思想方法解決一些抽象的數學問題，以形助數、以數輔形，可以使抽象的問題直觀化、代數的問題幾何化、復雜的問題簡單化，收到事半功倍的效果.下面根據筆者十幾年的教學經驗，結合近幾年各省市高考題中的實例談談自己對巧用數形結合思想解決高考數學問題的一些認識.

一、代數問題“幾何化”——以形助數

(一)方程問題中的數形結合

在研究某些方程的根的個數、根的大小以及根的取值范圍等問題時，都可以借助于數形結合思想，將抽象的數學語言轉化為直觀的幾何圖形來觀察方程根的情況.

【例1】(1)已知0

( )

A.1個_____________________ B.2個

C.3個 D.1個或2個或3個

解析：判斷方程的根的個數就是判斷圖象y=a|x|與y=|logax|的交點個數，畫出兩個函數圖象，易知兩圖象只有兩個交點．故方程有2個實根，故選B.

(2)已知α是方程x+log2x=4的根，而β是方程x+2x=4的根，那么α+β=________.

解析：由方程x+log2x=4得log2x=4-x，

由2x+x=4得2x=4-x，作出y=log2x,y=2x,y=4-x的圖象，由圖象可知直線與兩曲線交點坐標為A(α,4-α)，B(β,4-β)，

而A，B關于直線y=x對稱，∴α=4-β,∴α+β=4.

(二)不等式問題中的數形結合

在解決一些不會解的抽象不等式時，若利用常規方法無從下手，則可以考慮不等式的兩邊分別構造函數，在同一平面直角坐標系中作出它們的函數圖象，結合圖象，數形結合得到它們的解集.

【例2】若不等式|2x-m|≤|3x+6|恒成立，求實數m的取值范圍.

解析：在同一坐標系中分別畫出函數y=|2x-m|及y=|3x+6|的圖象，如圖，由于不等式|2x-m|≤|3x+6|恒成立，所以函數y=|2x-m|的圖象應總在函數y=|3x+6|圖象的下方，因此，函數y=|2x-m|的圖象也必經過點(-2，0)，所以m=-4，即m的取值范圍為{m|m=-4}.

此題屬于不等式恒成立問題，先利用圖象的上、下位置關系確定直線的位置，然后再還原即可．解不等式或證明不等式問題經常聯系函數的圖象，根據不等式中量的特點，選擇適當的兩個(或多個)函數，利用兩個函數圖象的上、下位置關系來確定不等式的解集或證明不等式．

(三)函數問題中的數形結合

【例3】已知函數f(x)=|lg(x-1)|,若a>b,且f(a)=f(b),則a+2b的取值范圍是

( )

C.[4,+∞) D.(4,+∞)

解析:作出函數f(x)=|lg(x-1)|的圖象,

∵a>b,且f(a)=f(b),∴12.

又由f(x)=|lg(x-1)|得|lg(a-1)|=|lg(b-1)|,

而a-1≠b-1,∴lg(a-1)=-lg(b-1),

∴ab-a-b=0,∴a+b=ab,

(四)集合問題中的數形結合

在解決高考中的集合問題時，常常借助于數軸、韋恩圖化抽象為具體，化復雜為簡單，把集合的交、并、補的關系直觀、形象的顯示出來，使問題得以簡化，運算簡潔明了.

【例5】某校先后舉行數理化三科競賽，學生中至少參加一科的：數學807人，物理739人，化學437人；至少參加兩科的：數理593人，數化371人，理化267人；三科都參加的213人，試計算參加競賽總人數．

解析：我們用圓A，B，C分別表示參加數理化競賽的人數，那么三個圓的公共部分正好表示同時參加數理化小組的人數．用n表示集合的元素，則有n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(A∩C)-n(B∩C)+n(A∩B∩C)=807+739+437-593-371-267+213=965，即參加競賽總人數為965人.

(五)解析幾何中的數形結合

解析幾何的基本思想就是數形結合，在解題中要善于將數與形的對立統一巧妙運用于對點、線、曲線的性質及其相互關系的研究中.

∴該拋物線焦點F(0,1),準線l的方程為y=-1,

取P為拋物線上的任一點,過點P作PP′⊥l,垂足為P′,

則P點在x軸上的射影為M(如圖所示).

欲使|PA|+|PM|最小,則|PA|+|PP′|最小,

即|PA|+|PF|最小,

解本題時，不少同學可能會依常理“出牌”——構造函數，將問題轉化為求函數的最值，然而其最值很難求得.事實上，求拋物線的焦點(或準線)相關的最值問題，更多的是考慮數形結合，利用拋物線的定義進行轉化，然后利用三點共線或三角形的三邊關系加以處理.

二、幾何問題“代數化”——以數輔形

【例7】函數f(x)的圖象如圖所示,f(x)為奇函數,其定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),則不等式x[f(x)-f(-x)]<0的解集是

( )

A.(-3,0)∪(0,3) B.(-∞,-3)∪(0,3)

C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-3,0)∪(3,+∞)

解析:x[f(x)-f(-x)]<0,即2x×f(x)<0.當x<0時,則f(x)>0,由圖象知-30時,則f(x)<0,由圖象知0

從上面的例子可知，在題設情境為圖象時，常常需要進行由“形”向“數”的轉化，即將形所含的信息轉化為數和式的表達式或關系式，以數析形，然后推理求解.

( )

A．2 B．4

C．6 D．8

解析：依題意，兩函數的圖象如圖所示，

由兩函數的對稱性可知交點A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8的橫坐標滿足x1+x8=2,x2+x7=2，x3+x6=2,x4+x5=2，即x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8=8，

故選D.

三、數形互化、相得益彰

【例9】已知二次函數y=f1(x)的圖象以原點為頂點且過點(1，1)，反比例函數y=f2(x)的圖象與直線y=x的兩個交點間距離為8，f(x)=f1(x)+f2(x).

(Ⅰ)求函數f(x)的表達式；

(Ⅱ)證明：當a>3時，關于x的方程f(x)=f(a)有三個實數解.

解析：(Ⅰ)由已知,設f1(x)=ax2,由f1(1)=1,得a=1,

它的圖象與直線y=x的交點分別為

(Ⅱ)證明：(方法一)由f(x)=f(a),

∴當a>3時，在第一象限f3(x)的圖象上存在一點(2,f3(2))在f2(x)圖象的上方.

∴f2(x)與f3(x)的圖象在第一象限有兩個交點，

即f(x)=f(a)有兩個正數解.

因此，在a>3時，方程f(x)=f(a)有三個實數解.

由a>3,Δ=a4+32a>0,得

∴x1≠x3.故原方程有三個實數解.

在解答此類問題時，教師就要注意引導學生將方程f(x)=g(x)轉化成函數，然后在同一坐標系下畫出函數y=f(x)和y=g(x)的圖象，通過研究函數圖象交點的個數，來確定方程解的個數或函數零點的個數.

從以上的內容及分析可知，數形結合思想是高中數學教學中的重要思想之一，而且是一種常用的教學方法.數形結合的重點在于“以形助數”，通過“以形助數”，將抽象的數學語言與直觀的幾何圖形巧妙結合起來，使得復雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，從數的“定量”和形的“定性”上統一的來解決問題.