巧用“一題多解”滲透數學核心素養

吉林 劉彥永

在傳統的接受式教學中，學生的思維往往習慣于求同性、定向性.“一題多解”恰恰是克服學生思維定勢的一種有效途徑，也是培養學生發散思維和靈活思維的有效方法.通過長期“一題多解”的訓練，學生可以從多角度、多途徑尋求解決問題的方法，開拓解題思路，并從多種解法的對比中選出最佳解法，總結解題規律，使分析問題、解決問題的能力提高，使思維的發散性和創造性增強，進而提升數學核心素養.數學核心素養離不開具體的情境，只有在解決實際問題中數學的核心素養才能體現出來，沒有具體的情境，就無法判斷一個人的數學素養的高低.下面以一道高考試題的“一題多解”為載體，淺談在解題教學過程中如何滲透數學核心素養及其必要性和重要性.

一、試題呈現

試題是以單位圓為載體、向量為背景的最值問題.平面向量是融數形于一體，是代數、平面幾何、三角函數、解析幾何等知識的交匯點，因而解決此類問題主要是根據向量的數和形的雙重特征，并以此為切入點尋求已知與未知之間的內在聯系，探究解題的思路和方法.

二、試題解法研究

利用化歸思想將向量形式轉化為代數中的數量關系，建立關于x+y的函數關系式，從函數的角度來解決問題.

視角1：基本不等式

由(x+y)2≥4xy，

當且僅當x=y=1時取等號，所以x+y的最大值為2.

視角2：對稱雙換元

令x=a+b,y=a-b，

代入x2+y2-xy=1得a2+3b2=1，

故a≤1，x+y=2a≤2.

當且僅當a=1,b=0，即x=y=1時，x+y的最大值為2.

視角3:三角換元

當α=60°時取等號(經檢驗符合題意)，故x+y的最大值為2.

視角4:判別式法

令x+y=n(n≥0)，則y=n-x，代入x2+y2-xy=1，

整理得3x2-3nx+(n2-1)=0，

Δ=9n2-12(n2-1)≥0，解得0≤n≤2，

故x+y的最大值為2(經檢驗符合題意).

【點評】將條件等式兩邊平方，化向量問題為關于x2+y2-xy=1的代數問題，再從多個角度進行適當處理，解決問題，其中不等式取等號的條件必須加以檢驗.教師在試題講解過程中要滲透學生從多角度深刻剖析問題.只有讓學生的思維在“多角度”上下功夫，才能取得事半功倍的良好效果，學生的思維在不斷的展開中得到充分的訓練和培養.

視角1：三角換元

視角2：柯西不等式

也就是(x+y)2≤4，又x≥0,y≥0,即0≤x+y≤2．

【點評】通過建立適當的平面直角坐標系，將向量坐標化，再利用三角換元和柯西不等式求得最值.事實上，建系設C(cosα,sinα)可以直接得到視角1.解法2也可以從線性規劃和判別式等視角解決問題，此處不再贅述.因此，教師要培養學生用規律解題，思維線路短，過程簡潔，大大提高解題的速度，“觸類旁通”的“巧思”也就一定會自然產生.

解法4：如圖所示，連接AB交OC于點D.

因為A，B，D三點共線，所以λ+μ=1.

所以x=nλ,y=nμ，x+y=nλ+nμ=n(λ+μ)=n.

要使x+y最大，必有線段OD最短，

則n=2，故x+y的最大值為2.

【點評】通過建立斜坐標系，將原問題轉化為線性規劃問題，解法新、方法活，充分地體現了平面向量的代數和幾何的雙重特征.我們在教學過程中可以滲透給學生敢于打破常規、勇于嘗試和探索的精神，讓學生在親身實踐中尋求變通，悟出其中的來龍去脈，掌握科學的解題規律和法則.

三、一點感悟

美國著名數學教育家波利亞說過：“掌握數學就意味著要善于解題.”而想要學會解題，好的數學題目是關鍵.一道好的試題之所以能引起大家的共鳴，不是因為其獨特的解題技巧，而是其中所蘊含著的數學思想和方法.本文中的試題就是素材平樸，但求解過程精彩紛呈，妙趣橫生，真可謂是一道平中見奇的好題.在日常教學中，教師精心選擇這樣極具代表性的一題多解題目作為練習，通過一題多解、多題一解的訓練，增強學生的數學核心素養.正如波利亞說：“一個專心的認真備課教師能拿出一個有意義的但不復雜的題目，去幫助學生發展問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的領域.”