傳承創(chuàng)新破思維定勢(shì) 優(yōu)化拓展顯數(shù)列特征

山東 王希紅

傳統(tǒng)的課堂教學(xué)，是教師講，學(xué)生聽；教師問，學(xué)生答；教師寫，學(xué)生抄.所謂的常用結(jié)論，教師讓學(xué)生死記硬背，做題時(shí)，學(xué)生就照本宣科，機(jī)械模仿.久而久之，禁錮了學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新意識(shí).導(dǎo)致一聽就會(huì)，一做就錯(cuò)，或者是稍微創(chuàng)新一些就不會(huì)做.其根本原因是還沒有深刻的理解數(shù)學(xué)的本性，要打破思維定勢(shì)，要有以不變應(yīng)萬變之策.下面筆者用數(shù)列幾例問題，來切實(shí)的反映以上問題癥結(jié)所在.

一、傳承錯(cuò)位相減，創(chuàng)新錯(cuò)位相加

【傳承】對(duì)一個(gè)由等差數(shù)列和等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積組成的數(shù)列的前n項(xiàng)和，常用錯(cuò)位相減法.形如an=bn·cn,其中{bn}是等差數(shù)列，{cn}是等比數(shù)列，記Sn=b1c1+b2c2+…+bn-1cn-1+bncn，則qSn=b1c2+…+bn-1cn+bncn+1.

解：Tn=a1+a2·4+a3·42+…+an·4n-1,

4Tn=a1·4+a2·42+a3·43+…+an·4n,

兩式相加得,

5Tn=a1+4(a1+a2)+42(a2+a3)+…+4n-1(an+an-1)+4nan,

【創(chuàng)新】本題是類比課本推導(dǎo)等比數(shù)列求和公式的錯(cuò)位相減法，學(xué)生大部分就照搬課本方法，但是做不出來，因?yàn)榇祟}稍微做了創(chuàng)新.注意題目中的條件，突破通法通性，運(yùn)用錯(cuò)位相加法，即可求得結(jié)論.教學(xué)中應(yīng)注重揭示問題的本質(zhì),無論是錯(cuò)位相減還是錯(cuò)位相加都是錯(cuò)項(xiàng)相消法.

二、傳承裂變差項(xiàng)，創(chuàng)新裂變和項(xiàng)

【傳承】裂項(xiàng)相消法實(shí)質(zhì)上是把一個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)裂變?yōu)閮身?xiàng)的差，即化為an=f(n)-f(n+1)的形式從而達(dá)到求和的目的.

【評(píng)析】本例以創(chuàng)業(yè)為話題，數(shù)學(xué)游戲?yàn)楸尘埃疾榈缺葦?shù)列的基本概念與前n項(xiàng)和公式，考查學(xué)生的閱讀理解能力與推理論證能力，突出考查由特殊到一般的合情推理與直覺思維能力，通過轉(zhuǎn)化與化歸把一般數(shù)列化為特殊數(shù)列的轉(zhuǎn)化與化歸思想.通過部分項(xiàng)列舉找出規(guī)律，再逐個(gè)加以驗(yàn)證，這樣思維量少但運(yùn)算量大，也可以根據(jù)題意找到滿足條件的關(guān)系式，再求解得到結(jié)果，但這樣需要較強(qiáng)的邏輯推理能力.

(作者單位：寧夏回族自治區(qū)固原市回民中學(xué)

寧夏回族自治區(qū)固原市第二中學(xué))

【例2】(2014·山東卷理·19)已知等差數(shù)列{an}的公差為2，前n項(xiàng)和為Sn，且S1,S2,S4成等比數(shù)列.

(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

【創(chuàng)新】本題每項(xiàng)不能分解成兩項(xiàng)之差，結(jié)合條件中公式的特點(diǎn)，運(yùn)用裂項(xiàng)前和裂項(xiàng)后相等進(jìn)行檢驗(yàn)，故將每項(xiàng)分解成兩項(xiàng)之和，裂項(xiàng)相消法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)進(jìn)行分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.可能是和式或差式.

三、傳承數(shù)列定義，創(chuàng)新隔項(xiàng)問題

1.隔項(xiàng)成等差

【例3】已知數(shù)列{an}滿足：a1=20,a2=7,an+2-an=-2(n∈N*).

(Ⅰ)求a3,a4并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)記數(shù)列{an}前2n項(xiàng)和S2n，當(dāng)S2n取最大值時(shí)，求n的值.

解：(Ⅰ)因?yàn)閍1=20,a2=7,an+2-an=-2(n∈N*)，所以a3=18,a4=5,根據(jù)題意可知數(shù)列{an}奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別是以-2為公差的等差數(shù)列.

2013年，美國(guó)氣象局(NWS)升級(jí)了多普勒天氣雷達(dá)，并且啟用了dual-pol技術(shù)，該技術(shù)可以幫助天氣雷達(dá)組在第一時(shí)間就能辨別出雨水、雪或者冰雹等不同物質(zhì)，提高了天氣預(yù)報(bào)的實(shí)時(shí)性和準(zhǔn)確度。2014年，NWS開發(fā)了一款天氣導(dǎo)航工具EDD，該工具可以讓用戶創(chuàng)建“天氣地圖”，顯示溫度、天氣狀況等信息，并且能夠顯示出未來一段時(shí)間內(nèi)用戶線路上的天氣情況(風(fēng)、雪、雨、霧)等，具體數(shù)據(jù)(溫度、雨雪量、風(fēng)速等)以及旅行者需要應(yīng)對(duì)或者關(guān)心的一些事項(xiàng)。

結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)n=7時(shí)S2n取最大值.

2.隔項(xiàng)成等比

【例4】(2015·天津卷理·18)已知數(shù)列{an}滿足an+2=qan(q為實(shí)數(shù)，且q≠1),n∈N*，a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差數(shù)列.

(Ⅰ)求q的值和{an}的通項(xiàng)公式；

解：(Ⅰ)因?yàn)閍n+2=qan(q為實(shí)數(shù)，且q≠1)，a1=1,a2=2，所以a3=q,a5=q2,a4=2q，

又因?yàn)閍2+a3,a3+a4,a4+a5成等差數(shù)列，

所以2×3q=2+3q+q2，即q2-3q+2=0，解得q=2或q=1(舍).

所以a3=2,a4=4,根據(jù)題意可知數(shù)列{an}奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別是以2為公比的等比數(shù)列.

記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn,

兩式相減，得

【創(chuàng)新】以上兩題在等差、等比數(shù)列定義的基礎(chǔ)上加以變式創(chuàng)新，an+2-an=-2，an+2=qan(q為實(shí)數(shù))，這類問題可以理解為隔項(xiàng)等差數(shù)列和隔項(xiàng)等比數(shù)列，或雙等差數(shù)列和雙等比數(shù)列.處理這類問題應(yīng)分奇數(shù)和偶數(shù)討論，在求通項(xiàng)時(shí)要分別找出每一組的首項(xiàng)，然后注意公差(公比)和項(xiàng)數(shù)的關(guān)系，還是套用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.拓展延伸，隔兩項(xiàng)、三項(xiàng)都可以.