立足數學本質·聚焦知識交匯·提升數學素養
——高考數列題型及其解法略探

寧夏 朱全林 張 興

數列是高等數學的基礎，是高中數學知識和數學方法的匯合點，它在測試邏輯推理能力、理性思維水平以及考查學生創新意識和創新能力上具有不可替代的作用，所以研究高考數列試題的呈現特點及其解答方法，對于提升學生的數學核心素養具有十分重要的現實意義.經統計發現新課標從2007年開始到2017年，文、理36套共計57道數列考題，其中包括40道選填題、17道解答題.主要考查等差與等比數列的概念、性質、通項公式及求和公式，數列與函數、不等式的關系等基礎知識和基本技能，其中等差與等比數列的通項公式與求和公式是重點.經統計發現每年的數列試題可能是2道選填題，也可能是1道解答題，平均兩年3道試題.文、理科試題的選材背景基本一致，選填題基本沒有差別，都以特殊數列為主，解答題在能力層次上要求不同，文科以基礎知識為主，理科兼顧綜合.通過對這些高考試題及其解法的分析總結，得出其解答應立足于數列知識的本質內涵與個性特色，聚焦知識交匯綜合，突出數列的數列化、數列的方程化、數列的函數化、數列的不等式化和數列的數學建?；宕蠼忸}策略.下面通過例題加以具體說明.

一、數列的方程化解題策略

數列的方程化策略，就是分析數列問題中的數量關系，將其轉化為數學模型，然后通過列、解方程來解決問題，它集中體現了方程的思想.通項公式、前n項和公式是等差(或等比)數列的兩個基本公式，共涉及五個量a1，an，d(或q)，n，Sn，已知其中三個量就能夠求出另外兩個量，其中兩個基本量a1，d(或q)是關鍵.解答的一般步驟是：先用題目給出的兩個條件列方程，再用通項公式與前n項和公式將方程化簡為兩個基本量的關系式，解方程求出兩個基本量a1和d(或q)，最后由基本量a1和d(或q)求出結論.

【例1】(2017·全國卷Ⅰ理·4)記Sn為等差數列{an}的前n項和．若a4+a5=24，S6=48，則{an}的公差為

( )

A.1 B.2 C.4 D.8

【例2】(2017·全國卷Ⅲ理·14)設等比數列{an}滿足a1+a2=-1,a1-a3=-3，則a4=________.

【評析】上述兩例均為“根據條件列方程、解方程求基本量a1和d(或q)、由基本量a1和d(或q)求結論”，在具體解方程時，等差數列通常作差，等比數列通常作商.主要考查等差與等比數列的基本概念和基本性質，突出了方程思想的運用，指向于學生邏輯思維和運算求解能力.

二、數列的函數化解題策略

數列的函數化解題策略，就是把數列看成是一種特殊的函數，比如等差數列的通項公式、前n項和公式分別看成是一次與二次函數，等比數列的通項公式、前n項和公式可以看成是指數型復合函數.解題時充分運用函數思想，借助于函數的圖象、性質，既能簡化解題過程，又能保證結果的準確性.

【例3】(2016·全國卷Ⅰ理·15)設等比數列{an}滿足a1+a3=10，a2+a4=5，則a1a2·…·an的最大值為_______.

所以a1a2·…·an的最大值為64．

【例4】(2010·課程標準卷文·17)設等差數列{an}滿足a3=5，a10=-9.

(Ⅰ)求{an}的通項公式；

(Ⅱ)求{an}的前n項和Sn及使得Sn最大的序號n的值.

【解析】(Ⅰ)設公差為d，由題知a1+2d=5，a1+9d=-9，解得d=-2，a1=9，數列{an}的通項公式為an=11-2n.

【評析】本例(Ⅰ)通過利用已知條件列、解方程組，求出通項公式an=11-2n；(Ⅱ)前n項和Sn看成n的二次函數，利用二次函數配方法可以求其最大值.主要考查等差數列的通項公式和二次函數知識，突出了函數思想的運用，指向于學生靈活化歸能力和運算求解能力.

三、數列的不等式化解題策略

數列的不等式化解題策略，就是把數列與不等式結合起來，以數列的通項與求和為背景，考查數列中的最值求解、解不等式、證明不等式和不等式恒成立問題.其解法需要把數列知識和不等式知識結合起來，最常用的就是放縮法、公式法、累加法等.

( )

A.3 B.4 C.5 D.6

【例6】(2015·安徽卷理·18)設n∈N*，xn是曲線y=x2n+2+1在點(1,2)處的切線與x軸交點的橫坐標.

(Ⅰ)求數列{xn}的通項公式；

【例7】(2014·全國卷Ⅱ理·17)已知數列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1.

四、數列的數列化解題策略

數列的數列化解題策略，就是用數列的知識解決數列問題.數列是一類特殊的函數，數列遞推是其本質內涵和個性特色.數列遞推從內容上看有三類，即項與項之間的遞推關系、項與和之間的遞推關系、和與和之間的遞推關系.從形式上看有三類，即線性遞推、分段遞推、乘積與商的遞推.從涉及的問題看，主要包括求某項或通項、求前n項和兩大類型.從解答方法上看，遞推化歸是關鍵，方法之一是把非等差、等比數列化歸為等差或等比數列，再利用等差或等比數列的性質進行計算，尤其要注意整體代換的思想，其中有些題目也可以先用等差或等比數列的性質，化簡以后再計算，能夠降低運算的繁難度.方法之二是化歸為與特殊數列有關或具備某種方法適用的形式.比如求前n項和可以采用分組求和、裂項求和、倒序求和、錯位相減求和等.這類題型對學生的觀察、分析、推理能力的要求較高，重在考查學生靈活化歸能力、邏輯思維能力、代數推理能力、分析問題與解決問題的能力.

【例8】(2015·全國卷Ⅱ文·5)設Sn是等差數列{an}的前n項和，若a1+a3+a5=3，則S5=

( )

A.5 B.7 C.9 D.11

【例10】(2017·全國卷Ⅲ文·17)設數列{an}滿足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n.

(Ⅰ)求{an}的通項公式；

【評析】本例(Ⅰ)根據前后項的遞推關系，使用作差法即可求出通項公式；(Ⅱ)求和問題使用裂項相消法，考查了數列求通項與求和兩大問題的基本知識和基本方法.體現了數列遞推的本質內涵，考查學生靈活化歸能力、邏輯思維與推理能力.

五、數列的數學建模化解題策略

【例11】(2017·全國卷Ⅱ理·3)我國古代數學名著《算法統宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍，則塔的頂層共有燈

( )

A．1盞 B．3盞 C．5盞 D．9盞

【評析】本例由生活背景抽象出數列模型，讓學生感受我國古代數學的優秀傳統，數學要關注生產和社會問題，優秀文化的傳承對創新能力的培養將起到積極的作用，考查學生的應用意識和模型思想，有利于學生理解數學價值和他們未來在數學上的發展.

【例12】(2017·全國卷Ⅰ理·12)幾位大學生響應國家的創業號召，開發了一款應用軟件.為激發大家學習數學的興趣，他們推出了“解數學題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數學問題的答案：已知數列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21，再接下來的三項是20，21，22，依此類推.求滿足如下條件的最小整數N：N>100且該數列的前N項和為2的整數冪.那么該款軟件激活碼是

( )

A.440 B.330 C.220 D.110