函數零點問題的題型歸類及解題策略

2018-07-27 04:44:52甘肅張自鶴

教學考試(高考數學) 2018年2期

甘肅張自鶴

函數的零點問題，是高中數學中常見的一類問題，縱觀近幾年的高考試卷可發現，因其考查范圍廣，考查方式靈活，設計的題目可淺可深，變化多樣，對學生思維要求的高低靈活性大，零點問題已越來越頻繁地出現在各類試題之中，試題的考查也已由易變難，呈現方式也越來越靈活多樣.故有必要對函數的零點問題做一歸類研究，以期對教與學有所幫助.歸納起來主要有以下幾種類型.

類型一：根據零點存在性定理確定零點的位置

利用函數的零點存在性定理確定零點所在的位置，是零點問題中最常見的一類題型，其要點是要保證函數在某個區間內是連續的，且在這個區間兩端點處的函數值為異號.

( )

A.(0,1)_____________________B.(1,2)

C.(2,3) D.(3,4)

【分析】本題主要考查函數零點的判定定理的應用，此類題屬基礎題．

【評注】根據函數零點存在性定理判定零點所在的區間是解決此類問題的基本方法.

【變式訓練】已知實數a,b滿足2a=3,3b=2，則f(x)=ax+x-b的零點所在的區間是

( )

A.(-2,-1) B.(-1,0)

C.(0,1) D.(1,2)

答案：B

類型二:根據函數解析式求函數的零點

求函數零點的基本方法：一是求方程f(x)=0在定義域內的根，二是求函數圖象與x軸的交點的橫坐標.

【分析】本題主要考查函數零點的求法，其基本思路就是令函數值為0，進而解方程并在其定義域內取值即可.

【解析】∵當x<0時，g(x)=f(x)，

∴g(-2)=f(-2)=-ln3．

令y=g(x)+1=0得g(x)=-1，

【評注】本題考查了分段函數函數值的計算，函數零點的計算，屬基礎題．

答案：x=-3，x=e2.

類型三：根據函數解析式判斷和討論零點的個數

判斷和討論零點的個數也是常見的一類問題，此類問題常常是與含參數的函數式有關，其常用的解決方法：一是分類討論，通過研究函數的單調性來研究函數圖象的變化趨勢，進而借助數形結合思想來解決；二是利用分離參數法進行合理轉化，構造新函數，把問題轉化為兩函數的交點問題來解決，一般是轉化為一條直線與一條曲線，通過研究新曲線的變化趨勢，然后借助數形結合解決.題目屬中等偏難問題.

例3設a為非負實數，函數f(x)=x|x-a|-a．

(Ⅰ)當a=2時，求函數的單調區間；

(Ⅱ)討論函數f(x)的零點個數，并求出零點．

【分析】(Ⅰ)先討論去絕對值，寫成分段函數，然后分別考慮當x≥2時與當x<2時的單調區間；(Ⅱ)討論a的正負，利用二次函數的單調性以及函數的極值與0進行比較，再分別判定函數f(x)的零點個數．

【解析】(Ⅰ)當a=2時，

①當x≥2時，f(x)=x2-2x-2，

∴f(x)在(2，+∞)上單調遞增；

②當x<2時，f(x)=-x2+2x-2，

∴f(x)在(-∞，1)上單調遞增，在(1，2)上單調遞減；

故f(x)的單調遞增區間是(-∞，1)和(2，+∞)，單調遞減區間是(1，2)．

(Ⅱ)(1)當a=0時，f(x)=x|x|，

函數y=f(x)的零點為x0=0；

(2)當a>0時，

故當x≥a時，f(x)=x2-ax-a，

∴f(x)在(a，+∞)上單調遞增，f(a)<0；

當x

由x2-ax-a=0解得f(x)的零點為

∵f(a)<0，∴函數f(x)與x軸有三個交點，

即有三個零點，

∴函數y=f(x)的零點為

綜上可得，當a=0時，函數的零點為0；

當0

當a>4時，函數有三個零點

【評注】求函數零點的基本方法是解方程f(x)=0的根，并在其定義域內取值，有時還需要先利用數形結合來判斷根的個數及根的情形，然后再解方程取值.

(Ⅱ)討論函數y=f(x)零點的個數．

類型四：根據零點個數求參數的取值范圍

此類問題近年來頻頻出現在高考試卷中，考查題型也已由選擇題、填空題逐步過渡為解答題，解決這類問題的基本思路是通過研究函數的單調性，借助數形結合思想來解決；常用方法一是分類討論法；二是分離參數法.

例4(2017·全國卷Ⅰ理·21)已知函數f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(Ⅰ)討論f(x)的單調性；

(Ⅱ)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.

【解析】(Ⅰ)f′(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)·(2ex+1)(x∈R).

①當a≤0時，f′(x)=(aex-1)(2ex+1)<0恒成立，故函數f(x)在(-∞,+∞)單調遞減.

②當a>0時，由f′(x)=(aex-1)(2ex+1)=0

得x=-lna，

當x∈(-∞,-lna)時,f′(x)<0;

當x∈(-lna,+∞)時,f′(x)>0.

故而可得函數在(-∞,-lna)單調遞減，

在(-lna,+∞)單調遞增.

(Ⅱ)(ⅰ)若a≤0,∵函數f(x)在R上遞減,

則f(x)至多有一個零點.

(ⅱ)若a>0由(Ⅰ)可知，

故f(x)只有一個零點；

故函數f(x)沒有零點；

即極小值小于0，

又f(-2)=ae-4+(a-2)e-2+2>-2e-2+2>0，

故f(x)在(-∞,-lna)有一個零點.

則f(n0)=en0(aen0+a-2)-n0>en0-n0>0.

因此f(x)在(-lna,+∞)有一個零點.

綜上可知，a的取值范圍為(0,1).

【評注】函數零點問題常常可與相應方程的實根問題相互轉化.已知函數f(x)有兩個零點求參數取值范圍，第一種方法是直接對含參函數進行研究，研究其單調性、極值、最值，注意點是若f(x)有兩個零點，且函數先減后增，則只需其最小值小于0，且還需驗證在最小值兩邊存在大于或等于0的點，反之亦然.第二種方法是分離參數法，構造一個不含參數的函數，進而研究新函數的單調性、極值、最值，并判斷y=a與其交點的個數，從而求出a的范圍.

(Ⅰ)求f(x)的單調區間；

類型五：證明與零點有關的不等式

證明與零點有關的不等式問題常常是與函數的雙零點有關的不等式，其類型主要是與雙零點的和，積，商等形式有關的不等式，其常用的解決方法：一是合理轉化進行等價變形；二是構造出輔助函數，通過研究該函數的單調性來證明.

例5(2016·全國卷Ⅰ理·21)已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.

(Ⅰ)求a的取值范圍；

(Ⅱ)設x1,x2是f(x)的兩個零點,證明：x1+x2<2.

【分析】對(Ⅰ)可繼續沿用例4的方法，先求導，進而對參數進行分類討論，得到函數的單調性，從而得到函數f(x)的大致圖象，進而得到f(x)存在兩個零點的條件.本題也可通過分離參數法將問題轉化為兩個函數圖象的交點問題來解.對(Ⅱ)可借助第(Ⅰ)問的結論來證明，由于不能求出f(x)的表達式，從而問題的關鍵是將x1+x2<2的證明轉化為證明f(x1)>f(2-x2)，進而構造出輔助函數h(x)=f(x)-f(2-x)，通過研究h(x)的單調性得到問題的證明.

【解析】(Ⅰ)本例我們用分離參數法來解決.

令f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2=0，

當x=1時，f(x)=-e≠0，∴x=1不是f(x)的零點；