以競賽題為背景的數學命題策略研究

陜西 李 歆

數學競賽題是數學命題專家經過深思熟慮后精心編制的經典題，對于選拔和培養數學人才具有重要的促進作用,競賽題中所滲透的數學思想和方法對數學教學具有一定的引領性和指導性.但是,競賽題往往思維難度較大,方法技巧較高,常常使多數學生望而生畏.因此，以一些熟悉的經典競賽題為背景命制數學基礎題，既是充實和豐富教學內容的需要,也是提升多數學生解題效果的有力保證.

一、利用競賽題中的已知條件,合理引入變換,通過改變結構,獲得新命題

【證明】如果聯想到不等式(x+y)2≥4xy(*),則①式的證明就變得十分簡單:

由此得到下列新命題:

【解析】仿照例1,利用(*)式可得

【評析】以上三道命題都是以例1為背景命制的基礎性的題,它們在解法上都有一個共同點就是利用不等式(*)實現解題最關鍵的轉化.同時,相對例1來說,命題1、命題2和命題3所考查的內容更加全面(如均值不等式、同角三角函數的基本關系式以及正弦函數和余弦函數的有界性等),基礎性更強.

二、利用競賽題中的多元特征,有效實施減元,通過優化組合,獲得新命題

【例2】(第31屆IMO預選題)已知a,b,c∈R+,求證:

(a2+ab+b2)(b2+bc+c2)(c2+ca+a2)≥(ab+bc+ca)3. ②

【分析】不等式②是一個三元不等式,結構對稱但比較復雜,證明難度大,技巧性強,考慮二元情況,取c=1,則②式變為

(a2+ab+b2)(b2+b+1)(1+a+a2)≥(ab+b+a)3,

上式雖然變為二元不等式,但在形式上與②式沒有多大變化,必須進行優化.

于是由上式得

兩邊同時乘以(a2+b2)2(a2+1)2(b2+1)2,得

≥(a2+b2)2(a2+1)2(b2+1)2(a+b+ab)3

≥43(ab)4(a+b+ab)3,

由此得到以下命題:

【命題4】已知a,b是滿足ab≥1的正數,求證:

【證法1】(a2+b2)(a2+1)(b2+1)

≥2ab(a2b2+a2+b2+1)

≥2(a2b2+a2+b2+1)

【證法2】(a2+b2)(a2+1)(b2+1)

≥2ab(a2b2+a2+b2+1)

≥3(ab+a+b)+(ab+a+b)-4

在以上兩種證法中,一開始都用到了如下一個不等式

(a2+b2)(a2+1)(b2+1)≥2ab(a2b2+a2+b2+1),

這說明將左邊的三個因式項可以看成兩個整體部分,即(a2+b2)與(a2+1)(b2+1),由此受到啟發,經過探究發現,由2(a2+b2+1)=(a2+1)+(b2+1)+(a2+b2)≥2a+2b+2ab得a2+b2≥a+b+ab-1. ③

由2(a2+1)(b2+1)=(a2+1)+(b2+1)+(a2+b2)+2a2b2≥2a+2b+2ab+2得(a2+1)(b2+1)≥a+b+ab+1. ④

將不等式③與④兩邊分別相乘,就得到命題4的一個加強命題:

【命題5】已知a,b是滿足ab≥1的正數,求證:

(a2+b2)(a2+1)(b2+1)≥(a+b+ab)2-1.

【證明】事實上,只要證明:

?3(a+b+ab)2-8(a+b+ab)-3≥0

?[(a+b+ab)-3][3(a+b+ab)+1]≥0,

【評析】從結構上看,命題4和命題5無論是題設條件,還是所要求證的不等式都與例2大相徑庭,完全脫胎換骨為兩道數學新題;從解題方法上看,例2因為難度大,多數學生往往感到入手難,思路無法打開,但命題4和命題5因為降低了難度,而且結構相對簡單,因此容易激發多數學生探究性學習的興趣,解題效果會更佳.

三、利用競賽題中的復雜結構,采取減換并舉,通過降低難度,獲得新命題

【例3】(第20屆伊朗數學競賽題)已知a,b,c為正實數,a2+b2+c2+abc=4 ⑤,求證：a+b+c≤3.

【分析】該題作為一道條件不等式題，卻與常規問題有所不同，題目所給的條件等式的結構比待證的不等式還要復雜，因此,由條件等式入手,先作減元處理,可以讓復雜的問題變得簡單一些.如:

取c=b,則⑤式變為a2+2b2+ab2=4，

整理得a+b2=2, ⑥

取c=1,則⑤式變為a2+b2+ab=3, ⑦

當且僅當a=b=1，即x=y=1時等號成立.

解得a+b≤2，當且僅當a=b=1時等號成立.

當且僅當x=y=1時等號成立.

【評析】從命題6到命題9，條件式與問題式看上去比較復雜,但只要從中找出共同點,并恰當地借助例3的解法——換元法,即可順利獲解,這對于培養學生的觀察能力、轉化與化歸能力等基本的數學素養大有裨益.

四、利用競賽題中的潛在聯系,運用數學方法,通過等價轉化,獲得新命題

【分析】不等式⑧又被稱作“Nesbitt不等式”,將它作化整處理得2(a3+b3+c3)≥a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2. ⑨

由于a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2=(a+b)(b+c)(c+a)-2abc,

所以,由⑨式得到以下命題:

【命題10】設a,b,c>0,求證:

2(a3+b3+c3+abc)≥(a+b)(b+c)(c+a). ⑩

【分析】如果對⑨式再加以整理,得

【命題11】設a,b,c>0,求證:

【評析】從命題10和命題11的命制過程來看,不等式與不等式⑧等價,不等式是不等式⑧的等價不等式⑨的放縮式改造,由不等式⑩和不等式,分別利用二元均值不等式和不等式⑧,都可得到三元均值不等式:a3+b3+c3≥3abc.因此,命題10和命題11既揭示了隱藏在不等式⑧背后的潛在聯系,又對深化三元均值不等式的教學有著十分重要的指導作用.