三角試題中的“美麗”錯誤及心理學層面探因

山東 耿瑞照

數學解題過程是對數學題目從直觀認知到思維分析再到嘗試解答的復雜過程，邵瑞珍版本的《教育心理學》中對教學作了如下描述：“學習者需要重新組織若干已知的規則，形成新的高級規則，用以達到一定的目標”．筆者在三角部分教學中發現，學生解三角題的常見錯誤有三類，一是沒有形成有效的解題思路；二是思維過程完全正確但運算出錯；三是形成了一定的解題思路但思路中存在不易覺察的漏洞．犯第一類錯誤的學生通常數學基礎較弱，需全方位提升數學基礎才行；犯第二類錯誤的學生通常基礎較好，只要提升解題的專注度就會避免此類錯誤；犯第三類錯誤的學生往往覺察不出自己的答案是錯的，說明學生在解題思維上存在誤區，這類錯誤更值得重視．本文將分析幾種常見的錯誤，從教育心理學層面探究出錯誤原因，揭示題目本質，讓錯誤也可以成為一種提升自我的資源．

1.數學元認知不足

數學元認知就是對數學認知活動的認識和監控，是在數學思維過程中表現出來的，以一定的數學觀念為指導，對自己的思維過程的意識進行調節與控制．很多學生對數學元認知不足，體現在看到試題時看不出命題目的、形成不了解題思路；也有的學生對于講過的“舊題”非常擅長，但一遇到“新題”就無從下手，缺乏知識遷移的能力．

【例1】已知三角形的三邊長是三個連續的整數，最大角是最小角的兩倍，求此三角形的最小邊的長．

【分析】筆者在讓學生解答本題時，發現有近八成的學生沒有思路、不能解答．有些學生認為在解三角形時，必須明確告訴三角形六個元素中的三四個元素才行；對于這樣一個沒有數字甚至沒有字母的問題就覺得無從下手，這其實是對正余弦定理理解不透徹造成的．

由①②解得a=4，所以最小邊長是4．

2.求易心理影響

求易心理，是指對于一些看似較為簡單的問題，學生通常憑借直觀認識得到較為簡單但不夠嚴密的解題方法，此時學生往往有放棄嚴密邏輯論證的心理傾向．求易心理在數學解題中的直接表現就是忽視隱含條件．

3.感知定向致誤

感知定向是指個體在遇到客體之前在頭腦中先于客體形成的定向思維，也稱感知.這種感知存在于主體的頭腦里，并影響主體對客體的感知.常見的表現就是先入為主的思想.

4.知識負遷移致誤

知識遷移就是一種學習對另一種學習的影響．在學習過程中，任何學習都是在學習者已經具有的知識經驗和認知結構、已獲得的動作技能、習得的態度等基礎上進行的，這種新舊學習之間的影響就是知識遷移．知識的正遷移可以提高學習效率，產生事半功倍的效果．但有些學生往往只注意到新舊知識表面的相似性，而意識不到它們之間內在的本質區別，從而誤用了某些知識，導致了錯誤的出現，這就是知識的負遷移．