診斷數列問題中的七種典型錯解

四川 蔡勇全 劉海軍

數列是高中數學的重要內容，也是歷年高考經久不衰的熱點．由于本部分內容所涉及到的概念、公式、性質較多，而且極易混淆，因而在解題時容易出現“會而不對、對而不全、常做常錯、一錯再錯”的現象．本文結合實例診斷數列問題中的七種典型錯解，供大家參考．

一、因忽視an=Sn-Sn-1的適用前提而致誤

【例1】已知數列{an}的前n項和Sn=2n2-3n+1，求數列{an}的通項公式．

錯解由題意，an=Sn-Sn-1=(2n2-3n+1)-[2(n-1)2-3(n-1)+1]=4n-5．

變式1 已知數列{an}的前n項和Sn=3n+2，求該數列的通項公式，并判斷數列{an}是否為等比數列．

變式2 已知數列{an}的前n項和Sn=aqn(a≠0，q為非零常數且q≠1)，則數列{an}為

( )

A．等差數列

B．等比數列

C．既不是等差數列也不是等比數列

D．既是等差數列又是等比數列

評注上述案例可引申得到如下特殊結論:設數列{an}的前n項和為Sn，若Sn=An2+Bn(A，B為常數)，則數列{an}為等差數列(反之亦成立)；若Sn=An2+Bn+C(A，B，C為常數且C≠0)，則數列{an}從第二項起為等差數列；若Sn=Aqn+B(A，B為非零常數且A+B=0)，則數列{an}為等比數列；若Sn=Aqn+B(A，B為非零常數且A+B≠0)，則數列{an}從第二項起為等比數列．

二、因忽視隱含條件而致誤

( )

剖析上述解法僅利用到a10>1這一條件，而忽視了關鍵詞中“開始”所隱含的“a9≤1”這一信息，從而造成錯解．

變式1 在等比數列{an}中，a6，a10是方程x2-8x+1=0的兩根，則a8等于

( )

A．1 B．-1

C．±1 D．不能確定

評注在解答變式1時，挖掘出的隱含條件是“a8>0”，在解答變式2時，挖掘出的隱含條件是“y>0”．在數列問題中，由于眾多性質、規律的存在，許多特殊的條件常常會隱含在待解的題目中，解答時，要注意根據數列的性質、規律去挖掘出這些隱含的條件．

三、因對數列中有關概念的理解不透徹而致誤

變式1 若a，b，c是實數，則“b2=ac”是“a，b，c成等比數列”的

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A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

變式2 已知x，2x+2，3x+3成等比數列，且x+1，x+5分別是等差數列{an}的第2項，第4項，求數列{an}的通項公式．

評注解答變式1與變式2，皆需建立在對等比數列的定義“如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的比值等于同一個常數，那么該數列叫等比數列”有透徹的理解的基礎上，尤其是要抓住“比值”這一關鍵詞，否則僅靠“內項之積等于外項之積”得到的結果往往是不完全符合要求的．

四、因對等差數列前n項和公式的理解不到位而致誤

剖析上述錯解主要體現在忽視了對“在等差數列中，如果公差d≠0，那么前n項和是關于n的二次函數(常數項為0)”這一結論的理解，而在上述解法中，當k是與n無關的常數時，Sn與Tn都是關于n的一次函數，因此得到的結論就必然是不正確的．

( )

A．3 B．4 C．5 D．6

五、因忽視項數n的特殊性而致誤

【例5】已知{an}的前n項和Sn=2n2-18n+9，則Sn的最小值為_______．

剖析上述解答忽視了n是正整數這一特殊背景，同時，Sn在取得最小值時n的取值也一定是某一個正整數值，而上述解法根本沒有考慮到這一點，因此造成錯解．

正解因為當x=4.5時，y=2x2-18x+9取得最小值，而n∈N*，由拋物線的對稱性可知，n=4或5時，Sn最小，最小值為S4=S5=-31．

變式2 已知數列{an}的通項公式為an=n2+λn(n∈N*)，若數列{an}是遞增數列，求實數λ的取值范圍．

提示因為數列{an}是遞增數列，所以an+1-an>0對于任意n∈N*恒成立，即(n+1)2+λ(n+1)-(n2+λn)>0對于任意n∈N*恒成立，也即λ>-(2n+1)對于任意n∈N*恒成立，因為-(2n+1)的最大值為-3，所以λ>-3，故λ的取值范圍是(-3，+∞)．

評注從上述案例可以看到，忽略項數n為正整數這一背景，實質就是忽略了數列的離散性，從而用連續代替離散，那么無疑會擴大相應函數的定義域，求出的函數最值或參數的取值范圍就會出現偏差．

六、因未實施分類討論而致誤

【例6】已知數列{an}是等比數列，Sn是其前n項之和．

(Ⅰ)求證:S7，S14-S7，S21-S14成等比數列；

(Ⅱ)設k∈N*，試問:Sk，S2k-Sk，S3k-S2k是否能組成等比數列？

(Ⅱ)類似(Ⅰ)題可證:Sk，S2k-Sk，S3k-S2k一定能組成等比數列．

(Ⅱ)①當q≠-1時，對任意k∈N*，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k一定能組成等比數列；②當q=-1時，若k為正奇數，則Sk，S2k-Sk，S3k-S2k一定能組成等比數列；若k為正偶數，則Sk=0，S2k-Sk=0，S3k-S2k=0，此時Sk，S2k-Sk，S3k-S2k不能組成等比數列．

變式1 對于數列{rn}，若存在常數M>0，對任意的n∈N*，恒有|rn+1-rn|+|rn-rn-1|+…+|r2-r1|0)的等比數列{an}是否為Ω數列？請說明理由．

綜上所述，當01時，等比數列{an}不是Ω數列．

變式2 已知正數a，b，且a，x1，x2，…，xn，b成等比數列，求x1x2·…·xn的值．

評注數列問題中，當所研究的對象或結果在題目背景下存在多種可能性時，公差、公比、項數或其他參數常常需要進行分類討論，其中，公比往往是從等于1與不等于1兩個角度來討論的，公差往往是從正、負兩個角度來討論的，項數往往是從奇、偶兩個角度來討論的．

七、因主觀臆斷、思維定勢而致誤

【例7】已知數列15，5，16，16，28，試問:該數列的通項公式存在嗎？若存在，請指出；若不存在，請說明理由．

錯解因為該數列沒有任何規律，所以它沒有通項公式．

剖析主觀上，不少解題者認為，沒有規律的數列是沒有通項公式的，事實上，對于任意有限數列而言，它都是存在通項公式的，它的各項(共n項)可以看作一個一元n次方程的根．