兩種策略解決向量數(shù)量積問題

陜西 高 潔

平面向量的數(shù)量積求值、范圍問題是重難點內(nèi)容，也是高考的熱點內(nèi)容，常考常新．教學中我們強調(diào)學生應(yīng)該具備基底意識或坐標化的思想，從而通過數(shù)化解決問題．平面向量具有代數(shù)和幾何的雙重屬性，是溝通代數(shù)與幾何的橋梁，而學生恰恰對形的應(yīng)用有障礙，所以教學中還應(yīng)該充分利用圖形把問題置身于幾何模型中，使得問題直觀化，往往有意想不到的效果．本文給出幾道數(shù)量積問題的題目，通過數(shù)和形上的解決，希望讀者從中受到啟發(fā)，選擇合適的方法．

一、數(shù)量積計算問題

( )

策略一：轉(zhuǎn)化為基底運算

策略二：借助數(shù)量積的幾何意義

【點評】研究向量數(shù)量積的計算問題，如果通過數(shù)，一般有兩個思路，一是建立直角坐標系，利用坐標研究向量數(shù)量積；二是利用一組基底表示所有向量，兩種思路實質(zhì)相同，取決于問題是否容易坐標化．如果利用數(shù)量積的幾何意義，借助于幾何運算會有意想不到的效果，但前提是某些射影容易計算．

策略一：轉(zhuǎn)化為基底運算

策略二：轉(zhuǎn)化為坐標運算

【解法2】以B為坐標原點，BA所在直線為y軸，BC所在直線為x軸，容易得到:

策略三：借助數(shù)量積的幾何意義

【點評】本題和例1是同一類問題，相對例1更容易坐標化，所以衍生出三個方法．

二、數(shù)量積范圍和最值問題

策略一：轉(zhuǎn)化為基底運算

策略二：借助數(shù)量積的幾何意義

策略一：轉(zhuǎn)化為坐標運算

策略二：借助數(shù)量積的幾何意義

三、數(shù)量積問題的應(yīng)用

( )

A．銳角三角形_______ B．鈍角三角形

C．直角三角形_______ D．上述三種情況都有可能

策略一：轉(zhuǎn)化為基底運算

【解法1】如圖所示，取BC的中點D，連接GD,OD，

∴|BC|2+|AC|2<|AB|2，

即角C為鈍角，△ABC是鈍角三角形，選B．

策略二：借助數(shù)量積的幾何意義

【解法2】如圖，過G點作BC的垂線，垂足為E，過A點作BC的垂線，垂足為F．

∴點E在線段DC上，

即DE=1，

∵△DGE與△DAF的相似比為1∶3，

可得DF=3，

∴F在線段BC的延長線上，

即角C為鈍角，△ABC是鈍角三角形，選B．