二輪微專題，提升關鍵能力

江蘇 章岐男

高三數學經過一輪的復習，二輪復習主要是以知識模塊為專題，對高中數學主要章節的重點內容進行復習，進行知識綜合應用，引導學生構建知識網絡，提升學生解決綜合問題的能力.但是在實踐中也有一些困惑：①與第一輪復習的內容有重復的地方，有些知識點出現重復，例題區別不大，給學生炒冷飯的感覺，容易讓學生產生“審美疲勞”；②學生在第一輪復習中的疑點和盲點并沒有很好的解決，知識與方法的漏洞沒有及時補上；③對于考試中出現的一些新的熱點問題研究較少或者研究不深，并沒有很好的幫助學生解決這一類問題，讓學生感覺自己解決問題的關鍵能力提升太少，教學工作事倍功半，效率不高.

在二輪復習中怎樣來解決這些問題讓學生在二輪中提升關鍵能力？可以嘗試在二輪復習中穿插微專題.所謂“微專題”是指立足于學情、教情、考情，選擇一些切口小、角度新、針對性強的微型復習專題，力求解決復習課中的真問題、小問題和實問題.微專題有三大特點：①切入點比較小，直指一個問題或者一類小問題，不求大而廣；②針對性強，主要針對學生反復出現錯誤的問題；③及時性，能夠把最新的熱點及時講授，可提高學生的學習興趣.在實踐中，按照以下幾個方面實施教學.

一、關注考試熱點，提升創新能力

每年高三復習二輪階段，各地的調研卷或多或少會有新的熱點，所謂“熱點”是指各地考卷經常考的知識點或者知識點以較新的面貌出現在大家面前，比較受大家關注.通過調研卷不難發現一些熱點問題，作為教師，首先要研究透這些熱點，思考能不能組成一個微專題和學生分享.通過微專題的形式，讓學生掌握相關知識，提升創新能力.

例如函數導數類綜合問題的考查力度一直很大，基本上作為壓軸題，主要是涉及利用導數求最值解決恒成立問題，利用導數證明不等式等，常以與ex，lnx有關的函數形式出現，且伴隨對參數的討論.學生對于這類題目總是束手無策，得分很低.針對這個熱點問題，筆者設計微專題《函數導數綜合應用》.

【課前預習】

1.已知定義在R上的可導函數y=f(x)的導函數為f′(x)，滿足f′(x)

【解析】∵y=f(x+1)為偶函數，

∴y=f(x+1)的圖象關于x=0對稱，

∴y=f(x)的圖象關于x=1對稱，

∴f(2)=f(0)，又∵f(2)=1，

∴f(0)=1.

又∵f′(x)

∴f′(x)-f(x)<0，∴g′(x)<0，

∴g(x)單調遞減，

即g(x)<1，

∴g(x)

∴x>0，故答案為(0，+∞)．

這是根據導函數的形式逆向構造函數中的一類與ex密切相關的問題，學生平時對已知函數求導問題掌握較好，但是逆向構造就有點困難，但會讓學生感覺新鮮.

【解析】∵k為正數,且對任意的x1,x2∈(0,+∞),

當g′(x)>0時,x∈(0,1);

當g′(x)<0時,x∈(1,+∞),

又k>0,∴k≥1，

【引例】

已知函數F(x)=lnx-x+1．

(Ⅰ)求函數F(x)的單調區間和最值；

(Ⅱ)已知不等式3ln(x+1)<3x+m對一切x>-1恒成立，求m的取值范圍．

∴F(x)的單調增區間是(0，1)，單調減區間是 (1，+∞)，且F(x)在x=1處取得極大值也是最大值0，沒有最小值．

(Ⅱ)由3ln(x+1)<3x+m，

得m>3ln(x+1)-3x對x>-1恒成立，

令g(x)=3ln(x+1)-3x，只需m>g(x)max即可．

當-10；

當x>0時，g′(x)<0．

∴g(x)在(-1，0)上單調遞增，在(0，+∞)上單調遞減．

∴g(x)max=g(0)=0,

則m>0,故m的取值范圍為(0，+∞)．

實際上，由(Ⅰ)可知lnx-x+1≤0對x>0恒成立，且在x=1時取得最大值0，以x+1代入x則可得ln(x+1)-(x+1)+1≤0恒成立，故不等式3ln(x+1)<3x+m可化為 3ln(x+1)-3(x+1)-3，即m>0.如此，起到將陌生問題化為熟悉的、已解決的問題的作用.提升了學生的轉化能力.

【典例剖析】

通過例1，讓學生學會構造兩個函數，對于這類綜合題，構造函數是學生必備知識技能之一.其實由引例可知，lnx+1≤xln(x+1)-(x+1)+1≤0(由x+1代入lnx-x+1中的x可得),即證F(x+1)≤0；而即即這樣只需要構造一個函數即可！

例2若b>a>e，證明ab>ba.

例3(2014·江蘇卷·19)已知函數f(x)=ex+e-x，其中e是自然對數的底數.

(Ⅰ)證明：f(x)是R上的偶函數；

(Ⅱ)若關于x的不等式mf(x)≤e-x+m-1在(0,+∞)上恒成立，求實數m的取值范圍；

【探究】已知函數f(x)=ax2+(1-2a)x-lnx(a∈R)．記函數y=f(x)圖象為曲線C，設點A(x1,y1),B(x2，y2)是曲線C上不同的兩點，點M為線段AB的中點，過點M作x軸的垂線交曲線C于點N．試問：曲線C在點N處的切線是否平行于直線AB？并說明理由．

答案：不平行.過程略.

變式1設函數f(x)=alnx-bx2，其圖象在點P(2，f(2))處切線的斜率為-3．當a=2時，令g(x)=f(x)-kx，設x1，x2(x1

變式2已知函數f(x)=lnx-ax，a為常數.若函數f(x)有兩個零點x1，x2，試證明x1x2>e2.

本題對學生的要求較高，主要考查初等函數的基本性質、導數的應用等基本知識，考查綜合運用數學思想方法分析與解決問題的能力.

本節課的例題主題明確，面對這類綜合題目，先變形，然后構造函數，再轉化為導數問題或者恒成立問題等來求解，讓學生不再畏懼這類難題，提升學生的綜合解題能力.

通過本節課的訓練，學生對于這類題目有些感悟，知道如何下手做題，并提高得分率.在實際教學中，筆者還設計了其他微專題，比如《解析幾何的定點定值問題》、《解析幾何中變量的選擇》、《新定義數列求解》等等，這些都是熱點，通過這些微專題，提升學生的創新能力.

二、關注疑點難點，提升思維能力

在一輪復習中，雖然復習到各類基礎知識，但是有些難點卻一帶而過，學生沒有很好的體會，沒有掌握解決方法，在實際處理問題時，顯得無從下手，效果很弱.如果二輪復習時也不能很好的專題解決，問題就會累積，所以對于出現的疑點難點有必要設置微專題專門處理.數列是離散型的函數，是函數概念的拓展和延伸，因此周期性、單調性在數列問題中常作為考查的熱點問題，筆者開設了《數列中的周期性、單調性問題》．

若數列{an}滿足an+k=an(k為常數且k∈N*)對任意n∈N*恒成立，則數列{an}是以k為周期的數列，數列中的周期性在試題中常以填空題的形式出現，通常可采用列舉、歸納猜想的方法解決，另外也可以與函數的周期性進行類比.

數列的單調性的判斷方法：一是利用定義，比較an+1與an的大小，二是構造函數，利用導數解決，要注意數列的單調性與函數單調性的聯系與區別．

三、關注知識縱向聯系，提升合作能力

二輪復習雖然以模塊為主，但是有些內容縱向聯系比較多，需要及時聯系各類知識，讓學生融會貫通，提升各模塊間的綜合能力.不等式恒成立與有解問題作為考試的一個熱點，聯系的知識比較多，學生也容易混淆.其實這塊知識，只要訓練好，得分不是難題，筆者嘗試了《不等式恒成立與有解問題》的微專題，把相關的各塊內容聯系起來，學生對這類問題不再陌生和恐懼.

在實際教學中還要挖掘更多的聯系，讓多個知識點匯總的題目展示在學生面前，提升能力.

四、深度挖掘教材，提升認知能力

每年的高考題，不少都是來源于課本的題目，深挖課本題目，有很強的實際意義.這類問題參考書中出現的不多，可以在各類試卷中發現聯系，與課本當中的知識結合起來.比如，筆者設計了《方程、不等式中的多元問題處理》，不等式是一個難點，尤其是以填空題形式出現，學生難以上手，或者一籌莫展，通過這個微專題，從課本題目入手，由淺入深，循序漸進，把一些常見的多元問題歸類，統一處理方法，讓學生體會，效果很好.

這就要求教師平時既要做題，又要聯系課本，然后深度挖掘，提升學生的關鍵能力.