常曲率空間中的兩類緊致子流形*

2018-07-26 09:50:42官展聿梁馨月

楚雄師范學院學報 2018年3期

官展聿，梁林，周鑒，梁馨月

(1，3.云南師范大學數學學院，云南昆明 650500;2.楚雄師范學院數學與統計學院,云南楚雄 675000；4.云南師范大學經管學院,云南昆明 650500)

1.引言

常曲率空間中的子流形是微分幾何研究的主要對象之一，許多微分幾何學家致力于研究在不同條件下常曲率空間中子流形的性質。對于具有平行平均曲率向量的子流形浸入到高余維的常曲率空間中的情形，很多研究者已作出研究，并得到一系列的結果。 Sing Tung Yau在1974年證得，如果M2是常曲率空間N中的一個曲面并且M2的平均曲率向量平行，那么M2具有平行平均曲率，并且它要么是N中的一個臍超曲面的極小曲面，要么M2是N中的某個三維臍子流形的曲面[1]。隨后，他又證得在Sn+p(p>1)中具有平行平均曲率向量的緊致子流形Mn中如果它的第二基本型形式滿足一定的條件，那么它是全臍的[2]。2015年，Zhang Hua Hou，Wang-Hua Qiu在[3]中處理了具有平行平均曲率向量乘積空間的子流形，并得到了一些Simon型等式。而我們將研究常曲率空間中的兩類緊致等距浸入子流形。

2. 預備知識

(2.1)

(2.2)

(2.3)

其中

(2.4)

對(2.4)進行微分可得Ricci恒等式如下：

(2.5)

令σ為Mn的第二基本形式模長的平方，定義Hα的第一和第二協變導數分別為：

(2.6)

(2.7)

由(2.1)―(2.3)及(2.5)―(2.7)可以得到子流形Mn上關于σ的Laplace

(2.8)

下面我們給出如下引理：

等號成立當且僅當其滿足如下條件之一：

(1)A1=…=Ap=0,

(2)有兩個矩陣Aα0和Aβ0不為零，并且存在一個正交矩陣T使得

其中，02×u，0u×2，0u×u都是零矩陣，u=n-2，L=N(Aα0)=N(Aβ0)，

3.主要定理

證明由引理2.1及Mn的極小性將(2.6)和(2.7)代入到(2.8)中可得

(3.1)

(3.2)

證明由平均曲率向量平行以及(2.6)有

(3.3)

其中▽⊥為Mn的法聯絡算子，由(3.3)有

=0,

(3.4)

由平均曲率向量平行可得ωn+1β=0(β≠n+1). 再由(2.3)有

具體來說，1）不改變每個電源并網方式，而通過先進的控制、計量、通信等技術聚合各電源、儲能系統、可控負荷等不同類型的分布式能源，通過更高層面的軟件構架實現多個分布式能源的協調優化運行，更有利于資源的合理優化配置及利用；2）無需對電網進行改造，而能夠聚合分布式能源對公網穩定輸電，并提供快速響應的輔助服務，成為分布式能源進入電力市場的有效方法，降低了其在市場中孤獨運行的失衡風險，可以獲得規模經濟的效益；3）分布式能源的可視化及虛擬電廠的協調控制優化，大大減小了以往分布式能源并網對公網造成的沖擊，降低了分布式電源增長帶來的調度難度，使配電管理更趨于合理有序，提高了系統運行的穩定性。

AαAn+1-An+1Aα=0 (α≠n+1)，

從而有

且

(3.5)