兩種群間的疾病交叉傳染模型*

鄭 偉

(楚雄師范學院數學與統計學院，云南 楚雄 675000)

1.引言

傳染病〔Infectious Diseases〕，是由各種病原體引起的能在人與人，動物與動物或人與動物之間相互傳播的一類疾病[1]。在歷史上，傳染病所造成的危害巨大。一直以來，很多科學家都在從事傳染病的研究，特別是在20世紀期間，取得了輝煌的成果。但隨著國際貿易與交往的發展，生態環境的變化以及病原體和傳播媒介抗藥性增強，原來滅絕或者得到控制的傳染病再次開始抬頭，來勢洶洶，形勢嚴峻。歷史和現實都告訴我們，人類面臨著種種傳染病長期嚴峻的威脅，對傳染病的防治任重而道遠，它仍然是人類的“第一殺手”[2―5]。

由于對傳染病的研究不能采取試驗形式，因此，對各類傳染病發病機理，流行規律，預測預報就更多發地需要理論分析，定量分析，模擬仿真來進行，而上述分析都離不開針對各類傳染病而建立的數學模型[6]。建立數學模型對傳染病傳播規律進行理論研究是理論傳染病學的一種重要方法.利用傳染病模型可以對影響疾病傳播的生物學和社會機理進行清晰的描述，通過對模型的研究來揭示疾病流行規律，預測流行趨勢，為發現、預防和控制疾病的流行提供理論依據和策略。數學模型也是檢驗理論和定量評估猜想與結論的實驗工具[2]。

在傳染病模型中，最常見的經典模型有SI模型，SIS模型，SIR模型以及SEIR模型等.其他常見的模型還有SEI模型，SEIS模型，SIRS模型，SEIRS模型等。

2. 基本定義及符號說明

定義2.1[7]每個病人單位時間有效接觸的人數稱為日接觸率，記為λ.

定義2.2[7]病人每天被治愈的人數占病人總數的比率稱為日治愈率，記為μ.

定義2.3[8]在一個傳染期內病人有效接觸的平均人數稱為傳染病期內的接觸數，記為σ=λ/μ.

定義2.4[9]易感染者(Susceptible)，其數量記為S(t)，表示t時刻未感染但有可能被該類疾病傳染者的數量。

定義2.5[9]染病者(Infective)，其數量記為I(t)，表示t時刻已被感染成為病人并且具有傳染該種疾病的人數。

定義2.6[2]移除者(Removed)， 其數量記為R(t)，表示t時刻已從染病者中移出的人數。

定義2.7[2]潛伏者(Exposed)， 其數量記為E(t)，表示t時刻已被感染但還沒有發病的人數。

定義2.8[2]每一個易感染者染上病毒后，并不馬上變成病人，而有一段滯后的時間才變成傳染者，這段滯后時間稱為潛伏期，記為τ。

本文還用到如下記號：

N1—種群甲的總數量(以下簡稱甲)；

N2—種群乙的總數量(以下簡稱乙)；

s1(t),i1(t),r1(t)—分別表示甲中易感染者，已感染者和移除者占甲的總數的比例；

s2(t),i2(t),r2(t)— 分別表示乙中易感染者，已感染者和移除者占乙的總數的比例；

λ11,λ12—分別表示甲相對甲(以下記為甲-甲)與甲相對乙(以下記為甲-乙)的日接觸率；

λ21,λ22—分別表示乙相對甲(以下記為乙-甲)與乙相對乙(以下記為乙-乙)的日接觸率；

μ1,μ2—分別表示甲，乙的日治愈率；

σ11=λ11/μ1,σ12=λ12/μ1— 分別表示甲-甲與甲-乙的接觸數；

σ21=λ21/μ2,σ22=λ22/μ2— 分別表示乙-甲與乙-乙的接觸數。

3.主要模型

基于傳統的單種群模型的建模思想和基本手段，本節主要研究在只考慮影響兩種群間傳染病傳播的最基本因素之一，即日接觸率的情況下，兩種群相互作用的疾病交叉傳染模型，不考慮兩種群間的捕食、競爭關系、各種群的出生率、死亡率和遷移活動，從而得到疾病在兩種群間的交叉傳染模型。自Kermack和Mckendrick于1927年構造了經典的SIR倉室模型以來[9]，傳染病模型一直被廣泛研究。對于一般的傳染病模型，它只考慮了單個種群，得到了一些“閥值理論”。然而實際情況并非如此。在生態圈中，各個種群并非孤立存在著。因此，對疾病在相互作用種群之間傳播規律的研究更具生物意義。由于問題涉及的是兩個種群相互作用的傳染病模型，與單種群傳染病模型相比較而言，由于兩種群間影響傳染病傳播的因素大大增加，因而也會導致模型的維數升高，從而也更加增大了分析的難度，如何將其有效地降維也就成了兩種群相互作用下傳染病模型的一項首要任務。對此，本文并未進行深入研究探討以求出精確解，僅作初步建模及簡單分析。

3.1兩種群相互作用下的SI模型

(1)模型假設：

假設1：在疾病傳播期內所考察的甲，乙兩個種群的總數量N1、N2不變.不考慮甲、乙的出生、死亡、遷移以及相互間的競爭和捕食關系，將甲、乙分別分為易感染者和已感染者兩類，記t時刻這兩類群體分別占各自種群總數的比例為s1(t),i1(t)和s2(t),i2(t)，則有

s1(t)+i1(t)=1,

(3-1)

s2(t)+i2(t)=1.

(3-2)

假設2：甲-甲與甲-乙的日接觸率分別為λ11,λ12；乙-甲與乙-乙的日接觸率分別為λ21,λ22.

(2)模型建立

根據假設，可以得到甲，乙的成員流動框圖如下:

圖3―1 兩種群間的SI模型框圖

圖3―1中，λ11s1(t)N1i1(t)是因甲的病人與甲的健康者有效接觸從而使甲的病人數N1i1(t)增加的增加率，即甲的健康人數N1s1(t)被甲的病人感染而減少的減少率，λ21s1(t)N2i2(t)是因乙的病人與甲的健康者有效接觸從而使甲的病人數N1i1(t)增加的增加率，即甲的健康人數N1s1(t)被乙的病人感染而減少的減少率;同理，λ22s2(t)N2i2(t)是因乙的病人與乙的健康者有效接觸從而使乙的病人數N2i2(t)增加的增加率，即乙的健康人數N2s2(t)被乙的病人感染而減少的減少率，λ12s2(t)N1i1(t)是因甲的病人與乙的健康者有效接觸從而使乙的病人數N2i2(t)增加的增加率，即乙的健康人數N2s2(t)被甲的病人感染而減少的減少率.再記初始時刻甲，乙中易感染者數和已感染者數分別為s1(0)、i1(0)、s2(0)、i2(0)且s1(0)=s10、i1(0)=i10、s2(0)=S20、i2(0)=i20.因此，可根據圖3―1得到兩種群相互作用下的SI傳染病模型為

(3―3)

(3)模型討論

對λ21,λ12的取值進行討論:

(i)當λ21=0,λ12≠0時，傳染病在甲種群內的傳播不受乙影響，但在乙種群的傳播受甲的影響.此時，對甲有

(3―4)

由模型(3―4)得

(3―5)

方程(3―5)是Logistic增長模型[8]，它的解為

(3―6)

式(3―6)就是該傳染病在甲種群中單獨傳播的傳播規律(即為傳統的單種群下的SI模型).

在該傳染病的傳播規律中，根據(3―6)式，顯然，病人數量i(t)單調遞增，且當t→∞時，有i→1，這表明如果任其發展而不采取積極有效的措施，最終所有人終將被傳染變為病人，這顯然也是不符合實際的.盡管如此，在傳染病流行的前期這個模型還是可用的，因而傳染病的學者曾用它來預報傳染病高潮的到來時刻[8].

模型失敗的原因是在模型中，沒有考慮到病人可以治愈，人群中的健康者只能變成病人，而病人不會變成健康者，這與實際情況是相悖的.

另外，對乙種群有

(3―7)

從模型(3―7)可以看出，采取隔離措施是有效控制該疾病在種群乙中傳播的途徑之一.當λ12=0,λ21≠0時，情況類似.

(ii)λ21=λ12=0時，說明甲乙之間不會互相傳染此種疾病，隔離措施失效.

(iii)λ21≠0且λ12≠0時，應及時采取隔離措施將兩種群隔離，避免兩種群間的互相接觸.

此外，無論λ21,λ12如何取值，提高治療水平和改善種群的生存環境是控制疾病在種群(無論是多種群還是單種群)間傳播的有效并且是切實可行的重要途徑.

3.2 兩種群間的SIS模型

對于有些人畜共患或多種群共患的傳染病等治愈后免疫力很低，可以假定無免疫性，于是各種群中患病者被治愈后變成健康者，健康者還可以被感染成為患病者，其成員流動形式為:S→I→S，故將該模型稱為SIR模型.

(1)模型假設：

模型假設1和2與SI模型的假設1，2相同，另新增如下假設條件:

假設3：μ1,μ2分別是甲，乙的日治愈率，1/μ1, 1/μ2分別是甲，乙的平均傳染期.

(2)模型建立

以下是兩種群間SIS傳染病模型框圖:

圖3―2 兩種群間疾病交叉傳染的SIS模型框圖

由圖3―2可知，λ11s1(t)N1i1(t)+λ21s1(t)N2i2(t)是甲中已感染者N1i1(t)的增加率，μ1N1i1(t)是甲中已感染者被治愈后仍可被感染的增加率；同理，λ22s2(t)N2i2(t)+λ12s2(t)N1i1(t)是乙中已感染者N2i2(t)的增加率，μ2N2i2(t)是乙中已感染者被治愈后仍可被感染的增加率.

由此，可得到兩種群間疾病交叉傳染的SIR模型為

(3―8)

其中，s1(0)=s10,i1(0)=i10和s2(0)=s20,i2(0)=i20分別為初始時刻甲，乙中易感染者和已感染者在各自種群中所占總數量的比率。

(3)模型討論

(i)當λ21=0，λ12≠0(或λ21=0，λ21≠0)時，可視該類疾病是在飛禽與走獸之間傳播的傳染病，其中值為零的表示走獸相對飛禽的接觸率，說明飛禽與走獸之間并沒有直接的接觸關系，走獸被感染該類疾病可能是由于食用了飛禽的殘骸或糞便等其他原因。

(ii)控制該類疾病在兩種群間的傳播的手段有:(1)種群隔離(若λ21=λ12=0，該措施失效)；(2)隔離治療；(3)阻斷疾病的傳播源等。

(iii)在某些情況下，引入新的種群也可以避免該類傳染病的流行。

3.3兩種群間疾病交叉傳染的SIR模型

對于傳統的單種群模型而言，SIR模型是最經典的模型之一.它的建立為發現，預測和控制諸如天花，麻疹，甲肝等治愈后有很強的免疫力的傳染病的流行規律和病理機制提供了理論依據和方案策略.在人畜共患或禽畜共患等多種群相互作用的傳染病當中，也存在著這類治愈后具有很強的免疫力的疾病，因此，建立兩個或兩個以上的種群相互作用下的SIR模型對這類疾病進行研究分析并將其理論結果運用于實際案例當中也一樣的重要。

(1)模型假設：

(i)甲，乙的總數不變，其數量分別為N1,N2。將甲，乙分別分為易感染者，已感染者和病愈免疫的移出者三類，記t時刻這三類群體分別占各自種群總數的比例為s1(t),i1(t),r1(t)和s2(t),i2(t),r2(t)，則有

s1(t)+i1(t)+r1(t)=1,

(3―9)

s2(t)+i2(t)+r2(t)=1,

(3―10)

(ii)甲-甲與甲-乙的日接觸率分別為λ11,λ12;乙-甲與乙-乙的日接觸率分別為λ21,λ22.

(iii)μ1,μ2分別是甲，乙的日治愈率，1/μ1, 1/μ2分別是甲，乙的平均傳染期;記甲-甲與甲-乙的接觸數分別為σ11=λ11/μ1,σ12=λ11/μ2，乙-甲與乙-乙的接觸數分別為σ21=λ21/μ1,σ22=λ22/μ2.

(2)模型建立

按照SI和SIS的方法，先作出SIR模型的成員流動框圖:

圖3―3 兩種群間疾病交叉傳染的SIR模型框圖

在圖3―3中，λ11s1(t)N1i1(t)+λ21s1(t)N2i2(t)是甲中已感染者N1i1(t)的增加率，μ1N1i1(t)是甲中已感染者每天病愈免疫移出者的增加率;λ22s2(t)N2i2(t)+λ12s2(t)N1i1(t)是乙中已感染者N2i2(t)的增加率，μ1N2i2(t)是乙中已感染者每天病愈免疫移出者的增加率。由此得到模型:

(3―11)

以上就是疾病在兩種群間交叉傳染的SIR模型.其中，s1(0)=s10,i1(0)=i10,r1(0)=r10=0和s2(0)=s20,i2(0)=i20,r2(0)=r20=0分別為初始時刻甲，乙中易感染者，已感染者以及病愈免疫移出者在各自種群中所占總數量的比率。

(3)模型討論

以下是控制該類疾病在兩種群間的流行和蔓延的有效手段:

(i)可以通過種群隔離或隔離治療降低甲-甲，甲-乙，乙-甲和乙-乙的日接觸率λjk(j=1、2，k=1、2)；

(ii)提高醫療衛生水平，其一是可以提高日治愈率，降低患者數，也降低了每天被感染的健康者人數，其二是可以減少病原體的傳播途徑；

(iii)進行預防接種使群體免疫，這個手段可以使健康者接種后成為具有免疫力的群體直接移出模型系統。其成員流程圖如下:

圖3―4 采取預防接種后甲，乙各成員的流動圖

4.總結

傳染病在現實生活中無處不在，常常給人類和社會帶來嚴重的危害，例如剛剛過去的甲型H1N1，禽流感，SIRS以及到目前還未能徹底治愈的AIDS等都給人類帶來了極大的威脅。因此，研究傳染病傳播的數量規律，建立有效的防控機制既是擺在我們面前的一個困難課題，也是一項緊迫任務。傳統中對傳染病模型的研究，往往只考慮了單個種群，得到了一些閥值理論，然而實際情況并非如此。很多傳染病不僅僅只在單一種群中傳播，也會在多個生物群體間相互傳染，并且造成的后果相當嚴重。在生態圈中，各個種群也并非孤立存在著。因此，本文研究疾病在兩種群之間傳播規律比傳統只對單一種群的研究更具生物意義。