初中數(shù)學(xué)例題教學(xué)的反思

江蘇省蘇州高新區(qū)實驗初級中學(xué) 闞麗波

美國數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家G·波利亞認為：“解題是人類的天性”“數(shù)學(xué)教師要盡一切可能發(fā)展他的學(xué)生的解決問題能力，特別是解決新問的能力”。學(xué)生對數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法的學(xué)習(xí)，很多都是從例題講授中獲得的。例題教學(xué)是數(shù)學(xué)課的重要組成部分，是把知識、技能、思想和方法聯(lián)系起來的一條紐帶。

教科書中呈現(xiàn)了大量精彩的例題，這些題目雖然基礎(chǔ)，但體現(xiàn)了對基礎(chǔ)知識和方法的運用，同時為學(xué)生呈現(xiàn)了規(guī)范的解題模式。但是，隨著學(xué)習(xí)的深入，需要將知識融會貫通，教師就要額外精心編制適當(dāng)?shù)睦}。教學(xué)中，筆者對教科書中以外的例題的選擇與編制經(jīng)常進行揣摩與反思，總結(jié)出設(shè)計與講授例題時通常需要結(jié)合以下原則：

一、目的明確，有的放矢

數(shù)學(xué)例題的編制與講授首先需要目的明確，有時為了引入某一個概念，有時為了揭示某一公式或法則的運用，有時是為了推導(dǎo)某一個公式，有時用來強調(diào)書寫規(guī)范和解題格式，有時是為了讓學(xué)生掌握某種解題技巧，還有時則用來突出某種數(shù)學(xué)思維的方法。

如在講授“函數(shù)”的概念時，學(xué)生普遍感到抽象、難懂。事實上，“函數(shù)”的概念描述具有一定的抽象性，咬文嚼字地講解容易引起學(xué)生的反感。學(xué)生需要在學(xué)習(xí)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等具體函數(shù)的過程中，自發(fā)地加強對函數(shù)概念內(nèi)涵與外延的理解。因此，在初次接觸“函數(shù)”概念時，教師需要提供大量函數(shù)關(guān)系的實例，比如勻速行駛時路程與時間的關(guān)系，并且讓學(xué)生嘗試舉例，在具有實際意義的兩個變量的變化關(guān)系中，理解自變量與因變量的對應(yīng)關(guān)系，讓學(xué)生感受到生活中的函數(shù)關(guān)系普遍存在，進而辨認一些曲線的坐標是否滿足函數(shù)關(guān)系以及關(guān)于兩個變量的表達式是否滿足函數(shù)關(guān)系，實現(xiàn)從具體到抽象的認識上的飛躍。

二、巧設(shè)“梯子”，易于接受

例題教學(xué)要易于學(xué)生接受。要做到這一點，教師要“吃透兩頭”，即“吃透例題”“吃透學(xué)生”。對于難度較大，估計學(xué)生一下子接受有困難的例題，要降低難度，搭好臺階，讓學(xué)生感到在老師的引導(dǎo)下“跳一跳”就能達到，有人主張的“先做后講”“作業(yè)前移”正是為了讓老師充分了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，從而有的放矢地講解。比如，教師在講解平面幾何題目時，需要講清楚思維過程，并以思維導(dǎo)圖的形式進行展示，對學(xué)生的解法，即使方法煩瑣，也要舍得花時間幫助學(xué)生簡化過程，這樣的過程有利于學(xué)生建構(gòu)知識體系，增強方法運用技巧。筆者認為，能夠解決問題的方法都是可行的，沒有必要批判其為“笨方法”。很多時候教師所謂的簡便方法，未必易于學(xué)生接受，某些學(xué)生的方法更接近于班級學(xué)生的知識水平。

例題講解要先讓學(xué)生講思路，既可以調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，又有可能產(chǎn)生讓多數(shù)學(xué)生易于接受的方法。如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸上，反比例函數(shù)（x＞0，k≠0）的圖象與BC交于點D，與AB交于點E。若點D是邊BC的中點，若四邊形OEBD的面積是2，則k=____。此題有的學(xué)生設(shè)點的坐標，設(shè)而不求可以解決。雖有點煩瑣，但多數(shù)學(xué)生易于接受。但筆者講授此題時認為，用面積關(guān)系解決即可秒殺。怎樣讓學(xué)生接受這種方法呢？我設(shè)置了問題：“求證：E是邊AB的中點。”等于給了學(xué)生“一把梯子”，不妨追問“若CD=3BD，則點E在線段AB的何處？”進行拓展，以此激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

三、循循善誘，注重啟發(fā)

例題教學(xué)要遵循啟發(fā)式原則，摒棄“注入式”“填鴨式”。教師如行云流水般的板書、口若懸河般的講授，學(xué)生或者聽得云里霧里、不知所云，要么驚嘆老師的巧妙構(gòu)思，然后感慨“老師怎么想到的？”如果教師盡量少講，多給予啟發(fā)并留給學(xué)生思維的空間，學(xué)生才能成為課堂的主體。

設(shè)計問題串是教學(xué)中啟發(fā)學(xué)生的常用手段。如在下題的教學(xué)中，筆者設(shè)計了如下幾個問題：如圖，在矩形ABCD中，AD=6，AE⊥BD，垂足為E，ED=3BE，點P、Q分別在BD，AD上，則AP+PQ的最小值為____________。

問題1：兩個動點的運動都影響著AP+PQ的值，能否先固定一點？P與Q兩點，先固定哪一點較好？

問題2：（經(jīng)討論，先固定點Q）點A與點Q是定點，點P是定直線上的動點，這是所學(xué)的哪種典型問題？

問題3：（問題2得出是“將軍飲馬”問題）點A關(guān)于直線BD的對稱點與點Q所連線段何時最短？

問題4：由條件“ED=3BE”可得點P在何處？

問題5：（點P是對角線BD的中點）三角形ABP的形狀有何特殊性？

……

在以上問題的引導(dǎo)下，學(xué)生思路陸續(xù)打開，有的經(jīng)兩三個問題啟發(fā)后便能自主解答。

四、延伸拓展，觸類旁通

所選例題盡量進行拓展延伸，讓學(xué)生由“會一道題”上升為“會一類題”。少數(shù)學(xué)生本身的舉一反三能力較強，而多數(shù)學(xué)生需要教師講完一道例題后再輔以若干變式，才能真正理解例題的方法并融會貫通，否則他們往往會機械地照搬這個固定模式解題，造成思維的呆板和僵化。在例題教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生獲得某種解題的基本方法后，應(yīng)及時對原題的條件、結(jié)論、情境或方法進行延拓變通。變式教學(xué)多年來受到數(shù)學(xué)教育者的青睞，并且形成了比較完善的教學(xué)理論。然而實際教學(xué)中，很多數(shù)學(xué)教師熱衷于題量，卻不愿慢下來將有限的例題多角度進行變式。

筆者在講解分式方程中“增根”問題時，有的學(xué)生很難理解，對相似的條件不知道如何運用，問題根源是沒有理清分式方程與所化整式方程根之間的關(guān)系。因此，筆者在授課時設(shè)置了如下變式題組：解分式方程：

首先通過具體的分式方程的求解，讓學(xué)生在簡單的解方程的過程中體會“增根”的含義，弄清分式方程與所化整式方程根之間的關(guān)系，進而通過一組含參數(shù)的變式題，逆向理解這種關(guān)系，最后再輔以適當(dāng)練習(xí)進行強化，取得了較好的教學(xué)效果。

數(shù)學(xué)知識的掌握不是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的根本任務(wù)，教會學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決問題才是數(shù)學(xué)教育的歸宿。選好例題、講透例題，將目的性、接受性、啟發(fā)性、延伸性融為一體，為學(xué)生提供學(xué)習(xí)解題的機會，也是學(xué)生學(xué)會解題的關(guān)鍵一步。學(xué)生在獲得對數(shù)學(xué)理解的同時，思維能力、情感態(tài)度與價值觀等方面也可以得到進步和發(fā)展。