基于核心素養的新授課有效設問研究教學設計

王苑婷

【中圖分類號】 G63.2 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 2095-3089（2018）07-0-02

一、教材分析

直線的傾斜角和斜率是北師大版必修2第二章第一節的內容。直線的傾斜角和斜率是解析幾何的入門課，突出解析幾何的本質——幾何問題代數化，初步體會借助平面直角坐標系用代數研究幾何圖形的思想，擔負著開啟全章的重任。

本節課涉及了兩個概念——傾斜角和斜率。它們都是反映直線相對于x軸正方向的傾斜程度的，傾斜角是從“形”的角度刻畫直線的傾斜程度，而斜率是從“數”的角度刻畫直線的傾斜程度。二者聯系的橋梁是正切函數值，進一步可以用直線上兩點的坐標表示直線的斜率。傾斜角是幾何概念，它主要起過渡作用，是聯系新舊知識的紐帶，后續研究斜率、直線平行垂直都要用到這個概念；斜率不但是本節課的核心內容，更是整個解析幾何的重要概念之一。

二、教學目標

1.知識與技能：（1）理解傾斜角和斜率的概念，掌握兩點的斜率公式；

（2）理解每條直線的傾斜角唯一，但不是每條直線都有斜率。

2.過程與方法：通過經歷從具體實例抽象出數學概念的過程，初步感悟用代方法解決幾何問題的思想方法，滲透數形結合思想，培養學生觀察、分析和概括的能力。

3.情感態度與價值觀目標：體會幾何問題代數化的思想方法，通過合作探索，互相交流，享受獲取數學知識的喜悅。

三、教學重難點

重點：直線的傾斜角和斜率概念的理解，初步掌握過兩點的直線斜率公式。

難點：直線的傾斜角概念的形成，斜率公式的建構。

四、教學方法

啟發引導法、講練結合。利用計算機等輔助教學，采用啟發和探究-建構教學相結合的教學模式。

五、教學過程

（一）創設情境，揭示課題

從勉縣到略陽的道路要走很多的上山路，道路用直線來表示，由道路的陡峭程度引入課題“直線的傾斜角和斜率”。

給出操場上的蹺蹺板圖片。

設計意圖：從生活中真實的例子出發，引起學生興趣，同時也說明我們數學知識和生活聯系緊密，來源于生活也應用于生活。這樣的引入比較自然，貫穿我們這節課的整個知識。

問題1 如果把蹺蹺板抽象成一條直線，那么蹺蹺板的運動過程中就形成了一系列的直線。那么這些直線有什么共同點和不同點呢？

學生1 共同點是 都經過了中間的支撐點

學生2 不同點是 與地面的夾角不同

教師總結：（1）這些直線都經過一點；（2）這些直線的傾斜程度不同。

選擇哪個量來描述直線的傾斜程度

設計意圖：探索描述直線的傾斜程度的幾何要素，由此引出傾斜角的概念。培養數學的直觀想象和數學抽象能力。

（二）新知探究

1.傾斜角的定義

在平面直角坐標系中，對于一條與x軸相交的直線，如果把x軸繞著交點按逆時針方向旋轉到和直線重合時所轉的最小正角記為α，那么α就叫做直線的傾斜角.特別，當直線和x軸平行或重合時，規定直線的傾斜角為0o.

問題2 那我們能不能簡單的說直線的傾斜角即是直線與x軸正方向的夾角？

學生1 可以，表示的是一樣的

學生2 不行，與x軸正方向的夾角有兩個呢

教師肯定學生的正確答案并給予鼓勵。

設計意圖：讓學生通過圖形的觀察，更進一步明確傾斜角的概念，更好的探究傾斜角的范圍。

問題3 觀察如下四個圖中的直線，畫出它們的傾斜角，指出直線傾斜角的范圍？

學生1 傾斜角的范圍是[0°，180°]

學生2 傾斜角的范圍是[0°，180°）

教師強調傾斜角概念的中的規定，給出正確的范圍。

設計意圖：通過對圖形的觀察讓學生明確傾斜角的取值范圍是。

引入斜率的定義

再利用勉縣到略陽的路回顧坡度的概念

問題4 對于勉縣到略陽的路中所出面的斜坡的傾斜程度，不用直線的傾斜角來表示，在生活中可以用什么量來反映傾斜程度呢？

學生1 初中學的坡度與坡角

在水平方向上移動1km，在鉛直方向上升或下降的數值（km）

教師肯定學生的回答，并以能不能用坡度來定義直線的傾斜程度來引入斜率的知識

設計意圖：是讓學生感受數學概念來源于生活，引導學生理解直線的傾斜程度除了用傾斜角表示外，還可以用傾斜角的正切值表示，體現了幾何向代數的轉化過程，并體驗從直觀到抽象的過程培養學生觀察、歸納、聯想的能力。

2.斜率

為了用實數來刻畫傾斜角，我們把直線放在直角坐標系中

直線的斜率是什么呢，直線過坐標原點時，當橫坐標x從0到1增加一個單位時，縱坐標y從0變化到k，k就稱為這條直線的斜率。

（1）的直線的斜率

圖中點，當橫坐標x從0到1增加一個單位時，縱坐標y從0變化到k（k〉0），k為這直線的斜率，。

（2）的直線的斜率

圖中直線上的點，當橫坐標x從0到1增加一個單位時，縱坐標y從0變化到k（k<0），k為這直線的斜率.

問題5 在時，我們能不能也用傾斜角的正切值表示斜率呢？

學生1

學生2 不對，k是負值，應該是。

教師總結：在以后的學習中我們可以知道當是鈍角時，依然成立。

設計意圖，通過學生自主探究，理解到時，也可以滿足，在探究中加強了學生的數學運算能力。

問題6 那的直線呢，是不是也可以寫成呢？

學生 不能吧，不存在呀

設計意圖：的值在初中時大家已經知道是不能運算的，在這里提出來也是對舊知識的一個回顧，也是對傾斜角是直角的直線的斜率判斷。

（3）的直線的斜率

直線與x軸垂直，無斜率。

問題7 通過以上分析，大家總結一下，直線的斜率和傾斜角之間存在什么樣的關系？

學生1

學生2 當直線傾斜角不是直角時，

學生3 當直線傾斜角是直角時，此直線沒有斜率。。

所以傾斜角不是90o的直線，它的傾斜角的正切就是這條直線的斜率.即斜率

設計意圖：強化學生對傾斜角是直角時的直線斜率不存在這種特殊情況的理解。培養學生歸納總結能力。

問題8 我們剛才所說的直線都是過坐標原點的直線，那對不過坐標原點的直線，是否也適用？

學生 適用，可以平移到過坐標原點，它們的傾斜角是一樣的，那斜率也就是一樣的。

教師追問：

問題9 那傾斜角是900的直線呢？能說斜率相等嗎？

學生1 能，都是。

學生2 不能，這樣的直線叫做沒有斜率。

設計意圖：讓學生明確傾斜角相等的直線，它們的斜率是相等的，同時再次強調傾斜角是900的直線沒有斜率。

問題10 通過斜率的定義，大家能不能得出，直線的傾斜角與其斜率的正負之間存在怎樣的規律呢？

學生1 傾斜角是銳角時斜率為正，是鈍角時斜率為負。

學生2 還有0°和90°，0°時為0，90°沒有斜率不能說正負。

教師總結：當傾斜角是0°時斜率為0，銳角時斜率為正，是鈍角時斜率為負。90°沒有斜率。教師繼續追問：

問題11 在上述兩個圖中做出斜率不同的幾條直線，觀察當在[0°，180°）內變化時，斜率k隨道傾斜角的增大是如何變化的？

學生1 隨道傾斜角的增大而增大

學生2 傾斜角是直角時斜率不存在，所以銳角時增大，鈍角時減小。

學生3 傾斜角是直角時斜率不存在，，斜率是負的，時，斜率是正的，都是隨著傾斜角的增大而增大。

設計意圖：在分析過程中鍛煉學生的邏輯推理數學素養，和周密的思維習慣，培養學生觀察、分析和概括的能力。

3.兩點間斜率的計算公式

問題12 如果給的角度是我們學習過的特殊的能求出正切值的角度，我們可以用通過求解，如果角度并不是能計算的特殊角呢？我們已經知道兩點就能確定一條直線，那能不能在直線上找兩個點，利用它們的坐標去求解其斜率呢？給大家三分鐘的時間分小組討論一下，看看怎么解決？

學生 利用相似三角形可以得到

教師追問

問題13 這個式子有沒有約束條件呢？

學生1 分母不能為0

學生2

設計意圖：學生自主探究的過程，是自己獲取知識的過程，鍛煉了學生的自學能力，培養了學生邏輯推理能力。在知識上也更加明確兩點間斜率公式與傾斜角與所取的兩點無關。

教師總結：兩點間的斜率公式是，強調括號里的內容。

（三）知識鞏固及課堂練習

例1 已知直線的傾斜角30°，求直線的斜率

如果換成45°，0°呢？

例2 直線PQ過點P（2，3），Q（6，5）求這條直線的斜率

如果換成過點A（-3，5），B（4，-2）呢？

（四）課堂小結

概括提煉（同學們這節課有何收獲？）

1.明確了確定直線位置的幾何要素。

2.理解了刻畫傾斜程度的量（幾何：傾斜角和代數：斜率），知道了求斜率的兩種方法（定義法、坐標法）。

3.經歷了代數方法刻畫斜率的過程，體會到解析幾何就是用代數的方法來解決幾何問題。感受了數形結合與分類討論的數學思想。

（五）作業布置 P78A組1.2.3

六、教學反思

這節課我們要讓進一步培養學生的數學抽象、邏輯推理、數學運算、直觀想象等核心素養，讓學生在學習中潛移默化的提高自己觀察分析、歸納總結、運算等能力。

通過本節課的學習，學生能很好地理解直線的傾斜角和斜率的概念.直線是幾何圖形，方程是代數關系式，學生能夠清楚傾斜角和斜率是分別從幾何與代數兩個不同的角度來刻畫直線的傾斜程度，從而理解解析幾何中將幾何問題轉化代數問題進行研究的數學思想。學生知識的獲取中，通過我所設計的13個問題積極主動的思考探索，引導學生的思考步步深入，加深概念理解。讓學生逐步體會將幾何問題代數化，用代數方法來研究幾何問題的思想方法。

這節課是我們解析幾何的開始，所以學生對幾何問題代數化的思想并不是理解太深刻。這就要求在設計問題時層層深入，引導學生有信心的去學習每一個知識。