Hertz點接觸參數(shù)的工程計算方法

楊咸啟,榮超,鄒星波

(1.黃山學院,安徽 黃山 242700;2.安徽日飛軸承有限公司,安徽 銅陵 244000)

在球軸承零件受力分析時，需考慮2個零件的相互接觸力，該接觸力通常為Hertz點接觸應力分布。Hertz點接觸是指在空載狀態(tài)下2個物體初始接觸為一個點的二次光滑曲面的接觸。在計算接觸力的大小時首先要利用接觸表面的曲率系數(shù)，再計算橢圓積分函數(shù)，但該計算過程相對復雜[1-4]。鑒于此，給出了近似的Hertz點接觸參數(shù)的近似計算方法，從而方便分析接觸應力分布情況。

1 Hertz點接觸參數(shù)理論計算方法

一般Hertz點接觸模型和接觸區(qū)域如圖1所示。分析接觸應力時需要計算的接觸參數(shù)有：接觸區(qū)域橢圓長、短半軸和2個接觸體的彈性趨近量。

圖1 Hertz點接觸模型Fig.1 Hertzian point contact model

利用彈性力學接觸理論，可以得到點接觸區(qū)域上的表面壓應力分布為[4]

(1)

式中：a，b分別為接觸區(qū)域橢圓長、短半軸；Q為法向接觸載荷。

假設相互接觸的軸承零件材料均為GCr15，其彈性模量E=207 GPa，泊松比ν=0.3, 則接觸橢圓長、短半軸分別簡化為

(2)

(3)

式中：F(e),E(e)分別為第一、二類完全橢圓積分；e為接觸橢圓率；∑ρ為曲率和函數(shù)；對于凸面±取+,對于凹面±取-;RⅠ1,RⅠ2分別為接觸體1，2在第Ⅰ主曲面內(nèi)接觸點的曲率半徑；RⅡ1，RⅡ2分別為接觸體1，2在第Ⅱ主曲率面內(nèi)接觸點的曲率半徑。

2個接觸體的彈性接觸趨近量為

δ=2.791×10-4δ*(Q2∑ρ)1/3,

(4)

為了計算接觸區(qū)域參數(shù)，需要采用曲率比函數(shù)，即

(5)

式中：ρⅠ1,ρⅠ2分別為接觸體1，2在第Ⅰ主曲面內(nèi)接觸點的主曲率；ρⅡ1，ρⅡ2分別為接觸體1，2在第Ⅱ主曲率面內(nèi)接觸點的曲率。

曲率比函數(shù)又可表示為

(6)

當已知接觸表面的主曲率后，首先計算出F(ρ)，再定出接觸橢圓率e。進一步計算出第一、二類完全橢圓積分F(e),E(e)及a*，b*，δ*，但該計算過程復雜。實際工程問題計算中是給定參數(shù)e計算出F(e),E(e),將計算結(jié)果制成圖表。利用圖表直接查找和插補方法來進行快速近似計算。

2 點接觸參數(shù)近似計算方法

由于理論計算方法過程復雜，主要步驟是確定接觸橢圓偏心率及橢圓積分，再通過(2)～(4)式確定接觸參數(shù)a，b，δ，最終得到接觸應力分布情況。下面介紹3種接觸橢圓率及橢圓積分的近似計算方法。

將接觸區(qū)域的主曲率面設為坐標面，第Ⅰ主曲率面內(nèi)包含y軸方向(接觸橢圓短軸方向)，第Ⅱ主曲率面內(nèi)包含x軸方向(接觸橢圓長軸方向)。將接觸點處的綜合曲率表示為

1/Rx=ρx1+ρx2，

(7)

1/Ry=ρy1+ρy2，

(8)

ρx1=ρⅡ1，ρx2=ρⅡ2，ρy1=ρⅠ1，ρy2=ρⅠ2，

式中：Rx,Ry為接觸體表面的綜合曲率半徑參數(shù)；ρx1，ρx2，ρy1，ρy2為接觸體的主曲率面內(nèi)接觸點的曲率。

由(5)式可得曲率比函數(shù)為

(9)

顯然，這里要求Rx>Ry。

2.1 第1種近似計算方法

根據(jù)文獻[4]，接觸橢圓半軸比值和橢圓積分的近似計算方法為

(10)

(11)

(12)

(13)

通過(11)～(13)式可得到接觸橢圓率及橢圓積分。在上面的計算過程中，需要注意接觸區(qū)域的長軸和短軸與坐標軸之間的位置對應關系。

2.2 第2種近似計算方法

文獻[5-6]給出了接觸橢圓率e的一種近似計算方法，即

，(14)

通過(14)式計算出e后，再對橢圓積分進行近似計算，即

F(e)≈1.386 294 4+0.111 972 3(1-e2)+

0.072 529 6(1-e2)2-

[0.5+0.121 347 8(1-e2)+

0.028 872 9(1-e2)2]ln(1-e2)，

(15)

E(e)≈1.0+0.463 015 1(1-e2)+

0.107 781 2(1-e2)2-

[0.245 272 7(1-e2)+

0.041 249 6(1-e2)2]ln(1-e2)，

(16)

通過(14)～(16)式可得到接觸橢圓率及橢圓積分。利用此方法計算時需要注意0

2.3 第3種近似計算方法

(14)式計算過程還是比較復雜，且參數(shù)F(ρ)趨近于零時為一種不定式，需要取更多的項才能準確計算F(e),E(e)值。為避免不定式計算,對橢圓積分進行變換,即

(17)

(18)

令

(19)

則

E(e)=(1-e2)F(e)+e2Δ(e)。

(20)

上面各式中，e的取值范圍為0≤e≤1，則π/2≤F(e)<∞，1≤E(e)≤π/2 ，π/4≤Δ(e)≤1。

由(6)式經(jīng)變換可得

(21)

將(20)式代入(21)式可得

(22)

(22)式表示橢圓率與橢圓積分和曲率比函數(shù)的關系。利用這種曲率比函數(shù)關系，對e，F(xiàn)(e),E(e)進行近似計算如下

(23)

(24)

(25)

通過(23)～(25)式可得到接觸橢圓率及橢圓積分。利用此方法計算時，允許0≤F(ρ)≤1。

3 實例分析

以某深溝球軸承為例，采用上節(jié)介紹的近似方法進行接觸參數(shù)計算，其中的接觸模型如圖2所示。軸承主要結(jié)構(gòu)參數(shù)為：球徑Dw=22 mm，球組節(jié)圓直徑Dpw=162 mm，內(nèi)、外溝曲率半徑系數(shù)fi= 0.515，fe= 0.520，接觸角α=0。

圖2 深溝球軸承接觸模型Fig.2 Contact model of deep groove ball bearing

在內(nèi)圈溝道接觸點處

(26)

(27)

(28)

(29)

γ=Dwcosα/Dpw。

在外圈溝道接觸點處

(30)

(31)

(32)

(33)

通過(26)～(33)式，可得Rx，Ry，F(xiàn)(ρ)，見表1。

表1 Rx，Ry，F(xiàn)(ρ)的計算結(jié)果Tab.1 Calculated results of Rx，Ry，F(xiàn)(ρ)

再用上述3種近似計算方法計算e,F(e)和E(e)，結(jié)果見表2。3種近似計算的接觸橢圓率e比較接近，而第1種和第2種近似計算方法的F(e)，E(e)較接近，第3種計算方法計算過程更為簡化一些。

表2 e，F(xiàn)(e),E(e)的計算結(jié)果Tab.2 Calculated results of e,F(e)，E(e)

4 結(jié)束語

介紹了Hertz點接觸的理論計算方法，將Hertz點接觸參數(shù)計算過程進行了近似計算。擬合出Hertz點接觸曲率函數(shù)與接觸橢圓偏心率e、橢圓積分之間的關系函數(shù)。在接觸計算工程中省去了復雜的計算過程，使得接觸計算變得相對簡化。最后以深溝球軸承為例進行實例分析，并對比分析了3種近似計算方法。說明介紹的近似方法是有效的。