向量法在求二面角中的應用

后小君

摘 要：利用向量法求二面角的大小的原理：構成二面角的兩個平面的法向量的夾角或夾角的補角等于這個二面角的平面角。課本中是憑直覺觀察二面角是銳二面角還是鈍二面角，這種方法缺乏理性，容易導致錯誤的結果。在復雜的立體圖中，要準確判斷是銳二面角還是鈍二面角比較困難，為了讓學生思維更清晰，能得到一個理性的結果，給法向量取定方向后可準確地求出二面角。

關鍵詞：法向量；求二面角；應用

一、二面角的兩個半平面的法向量的夾角與二面角的關系

1.確定法向量的指向

2.確定兩個法向量的夾角與二面角的關系

如圖1，當兩個法向量一個指向二面角的內部，一個指向二面角的內部時，法向量的夾角就是二面角；如圖2和圖3，當兩個法向量都指向內或者都指向外時，法向量的夾角就是二面角的補角。

二、法向量在求二面角中的應用

求二面角的大小或二面角的余弦值：當二面角為銳二面角時，二面角的余弦值為正值，當二面角為鈍二面角時，二面角的余弦值為負值，二面角和它的補角的余弦值不相等。用向量法解決這類型題時需判斷法向量的指向以保證兩向量的夾角就是二面角。

例1.【2017全國1卷（理）】如圖4所示，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°

（1）證明：平面PAB⊥平面PAD。

（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A-PB-C的余弦值。

【解析】（1）證明：因為∠BAP=∠CDP=90°，所以PA⊥AB，PD⊥CD。

又因為AB∥CD，所以PD⊥AB，又因為PD∩PA=P，PD、PA？奐平面PAD，所以AB⊥平面PAD，又AB？奐平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD。

點評：注意某些平面的法向量在條件中隱含，不用單獨求，取該平面的法向量時和另一個平面的法向量指向不同即可。

書中一直提倡用觀察法判斷二面角的大小是鈍角還是銳角，難免存在一些因視角問題而產生的錯誤，而很多老師和學生常常對于這一問題上往往忽視它的重要性，但是我們應該認識到數學是一門藝術，更是一門科學，要求的是簡潔性與準確性，所以，研究這一性質是非常重要的。

注：本文系2017年甘肅省教育科學“十三五”規劃“隴原名師”專項課題“中學數學教學中圖形教學的策略及效果研究”（立項號：GS[2017]MSZX057）的成果之一。

編輯 魯翠紅