關于Lagrange插值公式教學的體會

陳浩　王小麗

摘 要：給出一種基于質心形式的Lagrange插值公式及其推導，其實現更加快速且數值上更穩定. 其豐富了多項式插值的內容，對于在數值分析的學習中提高學生的認識和興趣很有意義.

關鍵詞：Lagrange插值公式 質心公式

在數值分析的教學中，Lagrange插值類問題是一個難點. 數值分析教材廣泛認為，Lagrange插值公式形式優美但其數值實現有一定的不足. 筆者認為，通過引入Lagrange插值公式的一種質心表示形式，可以克服其數值實現的困難. 同時，這不僅給學生們提供了解決插值問題的一類新思路，提高了學習效率，也提高了學生的認識，是值得嘗試的.

設 為 個橫坐標互不相同的插值節點. 令 為所有不超過 ，次的多項式的集合. 則經典的插值問題為：求一多項式 使其通過所有的插值節點，即： 該問題的解是存在唯一的且其解的Lagrange形式為[1]：

Lagrange插值公式的優點在于其形式優美且利于理論分析，其不足之處主要在其數值實現方面[2]，如：

1.計算 需要 次加法和乘法運算；

2.增加一個新節點 需要重新計算；

3.數值不穩定性.

在數值實現方面，數值分析教材一般建議利用Newton插值公式與秦九韶算法結合[1]來實現，其計算 僅需要 次加法和乘法運算且增加新節點 不需要重復計算.

為得到Lagrange插值公式的等價形式，我們先將Lagrange插值基函數改寫.令 并定義質心權系數

此質心公式為Lagrange插值公式的等價形式，但其具有特殊且優美的對稱性. 其計算 需要 次加法和乘法運算且為了增加一個新節點 而更新權系數 僅需要 次運算，同時其具備優良的穩定性[2].

Lagrange質心公式（3）相比Newton插值公式的好處之一是其避免了差商表的計算. 此外，Lagrange質心公式不依賴插值節點的排列順序，而Newton插值公式中差商表的計算非常依賴插值節點的排序，尤其當 很大時很多排序會導致數值不穩定性.

參考文獻

[1] 李慶楊，王能超，易大義. 數值分析[M]. 5版. 北京：清華大學出版社，2008.

[2] J. Berrut， L. N. Trefethen. Barycentric Lagrange interpolation [J]. SIAM Review， 2004， 46：501-517.

作者簡介

陳浩（1986.02—），男，湖北潛江人，博士，重慶師范大學數學科學學院，研究方向：數值分析。

王小麗（1987.11—），女，山西臨縣人，碩士，重慶師范大學地理與旅游學院，研究方向：教育教學方向