排列組合解題之拙見

盧佳榮

摘 要：在解決排列組合問題過程當中，學會總結，從該模塊入手，尋求解決排列組合問題的解題思想方法。

關鍵詞：解題方法 兩個特殊

一、相鄰問題（捆綁法）

某些元素要求必須相鄰時，可將這些元素看成一個，然后與其他元素排列。

Eg1、7 人站成一排，甲、乙、丙三人須相鄰，有多少種不同排法？

[析]：把甲、乙、丙三人看作一人以保證三個人相鄰，與其余 4 人共 5 個人全排列，有A55種排法，切勿忘記而甲、乙、丙三人之間又有A33種排法，故共有A33·A55種排法

二、相離問題（插空法）

某些元素要求必須相離時，可將其他元素全排列，再將相離元素排入已排好的元素的左右空隙中

Eg2、7 人站成一排，甲、乙、丙三人彼此互不相鄰，有多少種不同排法？

[析]：先安排除甲乙丙以外的四人共有A44中排法，四個人所留下的五個空再排入甲乙丙三人共有A53種排法，故共有A44·A53種排法。

三、同種元素分配問題（隔板法）

Eg3、學校組織籃球比賽，從4個班級中挑選12人組成一支代表隊，每班至少一人，共有多少種不同分配方案

[析]：為了保證每班至少一人，我們可把4個班級看成4個盒子，12人看成完全相同的球，則4個盒子兩兩之間共有3個隔板，而12人之間共有11個空隙，將3個隔板放入11個空隙中保證了每個盒子至少一個球，所以共有C113種分配方案

四、錯位問題（樹型圖）

Eg4、甲乙丙丁四人各寫一張賀卡，放在一起，再各取一張不是自己所寫的賀卡，共有多少種不同的取法

[析]：樹形圖解決排列組合問題是一種比較直接的辦法，對結果總數較少的問題可直接作圖分析，結果不重不漏，如該題的樹形圖結構

五、抓住“特殊”合理分析

對于事件發生的過程，常常遇見含有約束條件的問題，應當做到從特殊條件入手（如特殊位置、特殊元素），按照事件發生過程，合理分類與分布，層層推進，做到不重不漏！

Eg5、五個人排成一排，其中甲不在排頭，乙不在排尾，不同的排法有 種

[析]：由題目所提供條件，很容易能確定出特輸元素：甲和乙及特殊位置：排頭與排尾。解決問題可分兩類從甲排尾與甲不排尾（乙排頭與乙不排頭）入手。

甲若排尾則此時余下四個位置可全排列共有A44=24種排法

甲若不排尾則此時排尾只能從除甲乙外3人選1人排，有A31種排法，再考慮排頭，則排頭扣除已排掉的一人和甲不能排可從余下3人再選1人排，也有A31種排法，中間三個位置再全排列有A33種排法，故此時共有A31 A31 A33=54種排法，綜上不同排法共有78種.

此類問題常見還有如：5列火車進入軌道時，快車A不能停放在第一軌道，慢車C不能停放在第三軌道，共有多少種不同停放方法

六、順序固定問題

對于某些元素順序固定的排列問題，可將所有元素全排列，然后除以順序固定的幾個元素的全排列。

Eg6、7個人排成一排，其中甲乙丙三人順序一定，則共有 種排法？

[析]：七個人排不考慮甲乙丙三人順序共有A77種排法，而甲乙丙三人順序一定所以共有 種排法

七、平均分配問題

分配過程中要分清：是均勻的還是非均勻的；是有序的還是無序的，若屬于平均分成幾堆就除以所分堆數的全排列（如⑶），若是部分均分則可先選再分再排（如⑷）

分配過程種可把握先選后排（先分后排）的原則

Eg7、將6本不同的書按下列分法，各有多少種不同的分法？

（1）分給學生甲3 本，學生乙2本，學生丙1本；

（2）分給甲、乙、丙3人，其中1人得3本、1人得2 本、1 人得1 本；

（3）分給甲、乙、丙3人，每人2本；

（4）分給分給甲、乙、丙3人，其中一人4本，另兩人每人1本；

（5）分成3堆，其中一堆4本，另兩堆每堆1本

[析]：

（1）是指定人應得數量的非均勻問題：方法數為 ；

（2）是沒有指定人應得數量的非均勻問題：方法數為 ；

（3）是指定人應得數量的均勻問題：

可先將書平均分成三堆（無順序之分）故有 種分法，再將平均分成的三堆給甲乙丙三人共有 種方法；

（4）是部分均勻地分給人的問題：先從6本種選4本，再將余下兩本平均分成兩堆有： 種方法，分完之后再給甲乙丙三人共有 種方法

（5）是部分均勻地分堆的問題：共有 種方法

Eg10、有四個不同的小球，全部放入四個不同的盒子內，恰有兩個盒子不放球的放法總數為 ___

[析]：先選取兩個不放球的盒子，有 種選法；再把4個球分成兩堆，可分為兩堆各為1，3個或兩堆各有2個球這兩類，

有 種；再把兩堆分別放入兩個盒子里有 種：

所求放法總數為 種

八、配對問題

成對元素出現的問題，若要成對出現則直接選取，若取出元素不成對，則可先取成對再從每對中各取一個元素

Eg8、從有10雙不同的鞋子放在同一口袋中，從中任取4只，試求下列情況結果

①4只鞋子沒有成雙的②4只鞋恰成兩雙③4只鞋中恰有兩只成雙兩只不成雙

[析]：①4只鞋子沒有成雙，可從10雙鞋中先取出4雙，再從每雙中各取一只，故共有 種取法②4只鞋恰成兩雙，可直接從10雙鞋中取出2雙，共有 種取法③4只鞋中恰有兩只成雙兩只不成雙，分成兩步，第一步先取成雙的兩只有 種取法，第二步再從余下的九雙當中取出兩雙，再從兩雙中各取1只有 種取法，故共有 種取法

九、涂色問題

從構造的特殊區域出發，即特殊位置，特殊分析。

Eg9、如圖，一個地區分5個行政區域，現給地圖著色，要求相鄰區域不得使用同一顏色，現有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有 種

[析]：特殊位置，特殊分析，因區域①與其它四個位置都相鄰，所以可考慮先涂①，有4種涂法，②④，③⑤處于對角區域，須考慮顏色同與不同。不妨從②④出發，當②④涂同種顏色時，此時共有 種涂法；當②④涂不同種顏色時，此時共有 涂法，由分類計數原理，共有48+24=72種涂法

十、立體幾何中的排列組合問題

Eg10、過三棱柱任意兩個頂點的直線共15條，其中異面直線有（ ）

（A）18對 （B）24對 （C）30對 （D）36對

[析]：三棱柱共6個頂點，6個頂點可連成 個不同的四面體，而每個四面體有三組異面直線，故共有 對異面直線解答排列組合問題，首先理解兩個原理的區別，抓住概念的本質，其次分析問題過程中，從題目本身表述的意思作為解決問題的出發點，分析問題所屬類型，最后抓住解決排列問題先選后排的原則，及特殊位置、特殊元素、特殊分析的方法。