矩形簡支薄板振動模態及靈敏度分析

王秀穎，張軍,兆文忠

(大連交通大學 交通工程學院，遼寧 大連 116028)

0 引言

振動模態是結構的固有動力學性能，模態頻率及振動模式直接影響工程結構的動力學性能、安全性及穩定性，尤其薄板結構的模態特性更直接與振動強度、噪聲及疲勞性能密切相關，薄板類結構也是車輛、船舶等工程中廣泛使用的基本結構之一[1-2]，對薄板類結構的研究主要是針對薄板類結構的振動及噪聲[3-5].為了減小振動，在工程設計階段一般會對結構進行修改，快速準確的修改需要計算結構靈敏度[6-8]，結構靈敏度是結構模態、應力等響應隨結構參數的變化率，即響應對結構設計變量的導數.在有限單元法的基礎上，靈敏度計算方法有解析法[9-10]、半解析法[11]、完全差分法[12]、伴隨變量法等[13-14].解析法是從有限單元方程出發，嚴格求響應對設計變量的導數，對不同的單元類型及不同的結構參數，其理論是完全不同的，如殼單元和梁單元中的質量矩陣和剛度矩陣完全不同，其對結構參數的靈敏度也是完全不同的.解析法發展最早，精度最高，但求解效率低.半解析法是在有限單元法的基礎上，總體上基于有限單元方程用微分法求對結構參數的靈敏度，但質量矩陣和剛度矩陣對結構參數的靈敏度用差分法，不用考慮具體的矩陣形式，提高了計算效率，并具有較高精度，這種方法兼顧求解效率和求解精度，是普遍使用的方法之一.完全有限差分法求解靈敏度不必進行復雜的理論推導，具有很大的通用性，但是對N個設計參數求解結構響應的靈敏度必需進行N+1次響應計算，計算效率低，而且所求得的靈敏度依賴于差分步長，計算精度也較低.伴隨變量法是通過伴隨變量，解決求解具有大規模設計變量靈敏度的求解效率問題. 張保[15]提出了半解析伴隨變量靈敏度計算方法，以四邊簡支平板為算例，驗證了計算精度和效率高于一般伴隨變量法.程耿東院士[16]以梁結構為研究對象，用半解析法計算了模態靈敏度，并分析了半解析法的誤差.

本文以矩形簡支薄板為研究對象，推導了模態的理論解，并推導出了模態頻率對薄板厚度的靈敏度計算式，即簡支矩形薄板的模態靈敏度理論解，并計算了基于理論解的模態頻率差分解.建立了簡支矩形薄板的有限元模型，用有限單元法計算了其振動模態，基于有限元法用半解析法計算了模態頻率對板件厚度的靈敏度，并計算了基于有限元法的完全差分模態頻率靈敏度.

1 簡支薄板模態基本理論

1.1 簡支矩形薄板的模態

矩形簡支薄板的幾何模型如圖 1所示.

圖1 簡支矩形薄板幾何模型

薄板長和寬分別為a、b，厚度為h.設其在z方向的振動位移為w，則薄板的振動平衡方程為

(1)

(2)

通過分離變量法[17]，可求得薄板的橫向頻域自由振動方程為

(3)

(4)

(5)

式(5)表明，矩形簡支振動薄板的特征頻率與材料參數、板厚度及矩形邊長有關.

1.2 矩形簡支薄板模態頻率靈敏度

(6)

通過式(6)表示的模態頻率求對薄板厚度h的導數，即薄板模態頻率靈敏度的理論解，表示為

(7)

式(7)表明，矩形簡支薄板的模態頻率對板厚度的靈敏度的理論解與板厚度無關.

2 基于有限單元法模態及其靈敏度

模態頻率靈敏度即結構自由振動頻率隨結構參數的變化率.模態頻率靈敏度可以用結構自由振動模態方程對設計變量進行微分得到.無阻尼結構自由振動有限元方程表示為

([K]-λi[M]){φi}=0

(8)

式中，[K]、[M]分別為結構剛度矩陣和結構質量矩陣；λi為結構第i個特征值，{φi}為結構第i個振型向量.

設第j個設計變量為xj，式(8)對其求導數

(9)

(10)

由式(9)、(10)得模態頻率靈敏度為

(11)

(12)

3 振動薄板的模態頻率

設簡支矩形薄板厚度為h，兩個邊長分別為0.33 m和0.2 m，材料為鋼材，彈性模量E為210GPa，泊松比μ為0.31，密度ρ為7 800 kg/m3.為了研究模態頻率及其靈敏度，分別用式(6)、(7)計算了薄板的模態頻率及其靈敏度理論解，并用有限單元法進行了同樣的計算.

3.1 模態頻率的理論解

按照式(6)厚度分別為0.9、1.0、1.1 cm的矩形簡支薄板的前十階模態頻率理論解被列在表1中.表1表明，隨著板厚度增加模態頻率逐漸增加.在表2中.

表1 簡支薄板的模態頻率 Hz

3.2 模態頻率的有限元解

建立簡支薄板的有限單元模型，如圖2所示.為了避免有限單元網格數量的影響，研究了網格數量對計算結果的影響，對0.3 m×0.2 m、1 cm厚的簡支矩形薄分別板劃分了24、300、600、1200、2 400個四邊形殼單元， 不同單元數量的模態頻率被列表2表明當網格數量達到600個單元以上時，計算的1階模態頻率已經相同，高階模態頻率之間的誤差已經很小，與理論解的誤差也相對不再減小，可以認為600單元的有限單元解已經相對準確了. 前4階模態振型如圖3所示.

圖2 有限單元模型

表2 不同網格數量簡支板模態頻率 Hz

圖3 簡支矩形薄板前4階模態振型

3.3 模態頻率誤差分析

為了分析簡支矩形薄板模態頻率有限元解與理論解之間的誤差，同樣用有限單元法計算了厚度分別為0.9、1.0、1.1 cm的簡支薄板的前10階模態，前5階數值解模態頻率、理論解模態頻率及之間的誤差被列在表3中，有限元網格為600個單元.表3表明，隨著板厚度增加有限元數值解與理論解的誤差增加，隨著模態階數增加誤差也增加.前10階模態頻率有限元數值解與理論解的誤差百分比如圖4所示.

表3 前5階頻率有限元解、理論解及差值 Hz

圖4 模態頻率有限元解與理論解誤差

圖4表明，雖然總體來看隨著模態階數及模態頻率的增加，簡支矩形薄板有限單元解與理論解之間的誤差增加，但是誤差隨著模態階數的變化存在峰值，在有些模態誤差會出現較大的峰值.

4 模態頻率靈敏度

利用式(7)可以計算簡支矩形薄板模態頻率靈敏度的理論解，靈敏度理論解與厚度無關，并不隨板厚度的改變而改變，將其定義為s1，同時可以利用理論計算的不同厚度簡支薄板的模態頻率計算出理論差分靈敏度，0.9～1.0 cm的理論模態差分靈敏度定義為s2, 1.0～1.1 cm的理論模態差分靈敏度定義為s3.利用有限元法求得的不同厚度模態頻率也可以求出靈敏度差分解，0.9～1.0 cm的有限元模態差分靈敏度定義為s4，1.0～1.1 cm的有限元模態差分靈敏度定義為s5.利用式(11)和式(12)可以求出采用基于有限元法的半分析的數值微分法模態靈敏度，板厚度不同模態靈敏度是不同的，板厚度分別取0.9、1.0、1.1 cm的半分析數值微分靈敏度分別定義為s6、s7、s8. 利用三個不同的板厚度可以計算出8個模態頻率靈敏度值，前5階模態頻率對板厚度的靈敏度被列在表4中. 表4表明，一階模態靈敏度的理論差分解與理論解相差最小，半分析的數值微分解與理論誤差最大；但隨著模態階數的增加，理論差分解和有限元差分解與理論解的誤差逐漸增大，而半分析的數值微分解與理論解的誤差卻逐漸減小，到第4階模態時，數值微分解與理論解的誤差最小；理論差分解、有限元差分解與理論解之間的誤差大致相同.用數值微分法計算的不同薄板厚度的靈敏度s6、s7、s8幾乎是相同的，這與理論靈敏度類似，即矩形簡支薄板模態頻率對板件厚度的靈敏度與厚度無關.

表4 模態頻率靈敏度 Hz/mm

板厚度為0.9 cm前10階模態頻率靈敏度如圖5所示.圖5表明，1、2階模態頻率靈敏度理論差分解和有限元差分解與理論值的誤差較小，但從第2階開始,差分解于理論解之間的誤差幾乎呈線性增加，到第10階時其誤差已經超過100%；從第3階模態開始，基于有限單元的數值微分法的模態頻率靈敏度與理論解之間的誤差最小，而且在全部10階模態靈敏度來看，其誤差均在合理范圍內.

圖5 0.9 cm簡支薄板模態頻率靈敏度

5 結論

(1)基于簡支矩形薄板的模態理論計算式，推導了模態頻率對薄板厚度的靈敏度，理論計算式表明，簡支矩形薄板模態頻率對薄板厚度的靈敏度與薄板厚度無關；

(2)用理論差分法、有限單元差分法和基于有限單元的半分析數值微分法分別計算了薄板模態頻率對薄板厚度的靈敏度，計算結果表明只有第1階模態頻率差分模態靈敏度與理論解誤差較小，從第2階模態開始，其與理論解之間的誤差幾乎呈線性遞增；而基于有限單元的半分析數值微分模態靈敏度與理論解之間的誤差均在合理范圍內，證明了半分析數值微分法模態靈敏度的有效性和準確性；

(3)取不同的薄板厚度時，基于有限單元的半分析數值微分模態靈敏度幾乎相同，這與模態靈敏度理論計算式的結論是相同的，即簡支矩形板模態頻率對薄板厚度的靈敏度與厚度無關，這進一步驗證了半分析數值微分法模態靈敏度的正確性.