人字齒輪工藝空刀槽的設計方法

徐 瀚

（中國中車戚墅堰機車車輛工藝研究所有限公司，江蘇 常州 213000）

人字齒空刀槽寬度的取值受到齒輪自身參數、滾刀參數、機床規格等眾多因素的限制。如何在給定的外部條件下確定最優空刀槽寬度以及可行性，就成了設計人員和工藝人員關注的問題。本研究從滾齒空間數學模型出發，建立了最小空刀槽與外部影響因素的精確數學方程，結合滾齒工藝確定最優空刀槽寬度。

1 數學模型建立及方程求解

1.1 幾何模型的建立設計

如圖1所示，滾刀節線與被切齒輪節圓圓柱的切點p正好移動到空刀槽端面，此時滾刀并未完成這一端全部齒的切制，滾刀還需沿被切齒輪軸線繼續移動超越量e才能完成該端齒的切制。建立坐標系o－xyz，o點該端空刀槽端面的軸心，z軸與被切齒輪軸線重合，x軸為o點與p點的連線，各軸方向如圖1所示。坐標系o'－x'y'z'，o'點與p點重合，z'軸與滾刀軸線重合，軸與o點和p點的連線重合，各軸方向如圖1所示。

圖1 滾齒加工模型中各軸方向

設計工藝空刀槽的目的是為了在滾刀切制完成一端齒形后，退刀時不會與被切齒輪發生干涉，其干涉問題的幾何模型就是軸線不平行的兩圓柱體的相交問題，如圖2所示，只要滾刀在完全退刀位置時，使空刀槽的端面不處于此時滾刀與被切齒輪產生的最大理論干涉區域中（滾刀足夠長，與被切齒輪的干涉區域達到最大，圖中空間相貫線內部陰影部分所示），則滾刀可以順利完成退刀。從幾何模型還可以得知，空刀槽下端面不與滾刀發生干涉的極限位置應該是下端面與相關線相切時，由此，若能準確求解出最大理論干涉區域即空間相貫線方程，就可為設計合理精確的空刀槽寬度提供理論依據。

圖2 滾刀與工件模型干涉區域的輪廓相貫線

1.2 滾齒退刀最小超越量e的計算

如圖1所示，滾齒加工中，滾刀退刀時需要有一定超越量e，超越量是為使得滾刀與被切齒輪不再發生嚙合即保證完全切削，超越量的最小值與齒輪參數和滾刀參數密切相關。現以左旋滾刀切削左旋齒輪為例分析退刀最小超越量。如圖3所示，在滾刀法平面建立坐標系o－xy，根據斜齒輪的滾齒原理可知，被切齒輪與滾刀在法平面內相當于無側隙嚙合的齒輪和齒條，被切齒輪在法平面內為一橢圓，其平面方程為：

式中：rr為被切齒輪齒頂圓半徑，β為被切齒輪分度圓螺旋角。

圖3 滾齒加工時滾刀的位置模型

m'n'、mn為法平面滾齒嚙合線，m'n'直線方程為：

式中：r為齒輪節圓半徑、α為法面嚙合角等于滾刀法面壓力角αn。

滾刀頂線方程為：

式中：rr為齒輪頂圓半徑、h為全齒高。

聯立式（1）、（2）可以求得m'的x坐標為：

聯立式（2）、（3）可以求得n'的x坐標為：

xn'=(r+h－rr)tanα

滾刀在法平面內的參與切削的長度一半為：

ln=max[｜xm'｜,xn']

由此可知，只要滾刀參與切削部分退到空刀槽上端面之下時，退刀完成可以保證完全切削，故最小超越量為：

emin=lnsinλ

式中：λ為滾刀安裝角，λ=β±γ，γ為滾刀螺旋升角，“+”表示滾刀與齒輪旋向相反；“-”表示滾刀與齒輪同旋向相同。

1.3 最大干涉狀態下最小空刀槽寬度的求解

如圖1（a）坐標系所示，在o'－x'y'z'坐標系中滾刀頂圓圓柱方程為：

式中：rg為滾刀頂圓半徑。

o－xyz坐標系中，被切齒輪齒頂圓柱方程為：

式中：rr為被切齒輪齒頂圓半徑。

通過坐標變換可以求得滾刀頂圓圓柱方程在o－xyz坐標系中形式，o'－x'y'z'坐標系變換到o'－x'y'z'坐標系的轉換式為：

式中：a為滾切中心距a=rr+rg－h，h為全齒高，γ為滾刀安裝角γ=β±λ，β為齒輪螺旋角，λ為滾刀螺旋升角。

通過（6）式代入（4）式中，可得滾刀頂圓圓柱在o-xyz坐標系中為：

聯立（2）、（4）可得滾刀頂圓柱與被切齒輪頂圓柱的相貫線方程為：

為簡化求解，如圖2所示，將模型向yoz平面投影，投影線與x軸平行，此時空刀槽端面不干涉的極限位置就是端平面在yoz平面上的投影直線與相貫線的投影曲線S相切時的位置，另外由于滾刀退刀時還有一段超越量e，所以理論可行的最小空刀槽寬度為切點c距y軸的距離加上超越量e，由圖2分析可知，切點c也是相貫線的投影曲線z=f(y)的最小值Zmin所在點，由此可知最小空刀槽寬度為：

由（8）式可以寫出相貫線在yoz平面的投影曲線S的方程為：

由圖2（b）中坐標系可知：y'=ysinγ－zcosγ＞0，簡化式（10）如下：

式（11）即為曲線S在第三象限的方程，z=f(y)取最小值應滿足條件：f'(y)=0，式（11）對y求導得：

將式（13）代入式（12）中可得：

式（14）為關于t的一元非線性方程，可以使用MATLAB 7.0直接解出t，計算結果代入式（13）解出c點橫坐標值cy，將cy值代入式（11）可以解出cz，再聯合式（9）便可以求出Bmin。

1.4 非最大實際干涉條狀態下最小空刀槽寬度的求解

存在另外一種情形，即滾刀長度有限使得實際干涉區域y方向的最小值小于最大干涉區域y方向最小值，滾刀與被切齒輪實際干涉區域如圖4陰影部分所示。

圖4 滾刀與被切齒輪實際干涉區域

建立同圖（1）坐標系，分析可知，此時Zmin等于滾刀端面投影直線T與相貫線投影曲線S的交點c'的縱坐標值c'z，滾刀端面投影T的方程為：

式中：L為滾刀端面距節點的軸向距離。

聯立式（10）、（15），可求的交點c'的坐標，化簡后為：

式（16）為z的一元非線性方程，通過MATLAB 7.0易解得c'（z舍去一個z值較大的點），將cz=c'z值代入式（9）便可求的Bmin。

1.5 滾齒干涉情形判別

設計滾齒空刀槽時，首先要根據滾刀、被切齒輪及其安裝參數判斷干涉類別，然后根據相應的計算公式進行計算，分析可知，臨界條件為滾刀端面投影直線T'經過相貫線投影曲線S的z軸最低點c，此時臨界直線方程T'滿足下式：

式中：cz、cy為1.1.3中計算出的c點坐標值。

故若 cz＞ -(cycosγ +L)/sin γ，表明實際滾刀端面投影直線T在臨界位置下方，最小空刀槽按1.3情形計算；反之按1.4情形計算。

2 結語

（1）本研究根據滾齒的幾何模型，提出了針對干涉區域的數值計算方法，并以此推導出了人字齒最小空刀槽的精確計算公式。

（2）研究理論是建立在精確數學模型基礎上，尤其是對人字齒滾齒及磨齒的最小空刀槽寬度的計算精度極高，因此，文中理論及公式可直接應用于實際生產中人字齒空刀槽的設計。