教師擁有“透視眼”，學(xué)生學(xué)習(xí)才具“立體感”

上海市松江區(qū)第三實驗小學(xué) 季國棟

一、關(guān)注知識內(nèi)涵，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)在廣度上實現(xiàn)跨越

教師不僅要讓學(xué)生學(xué)會使用一些解決問題的工具，更應(yīng)了解工具出現(xiàn)的緣由，把握其背后的知識內(nèi)涵，進(jìn)而讓學(xué)生的學(xué)習(xí)不斷拓展，實現(xiàn)跨越。

從本質(zhì)上看，線段圖就是解決問題的思維“工具”。工具的價值不在其本身，而在于其效用，衡量工具效用的標(biāo)準(zhǔn)在于 “能否指引人們的行動取得成功，能否滿足人們的目的和需要”。線段圖呈現(xiàn)了從抽象的文字到直觀的再創(chuàng)造、再演示的過程，以其形象、直觀的特點，有效地提高了學(xué)生的自我學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力，使學(xué)生會學(xué)習(xí)。因此，線段圖在數(shù)學(xué)教學(xué)中才得以廣泛應(yīng)用。然而，很少有人思考：為什么許多不同的量都可以在線段圖中用長度來表示呢？

量有離散量和連續(xù)量之分。一個個分離、獨立存在的東西，如蘋果等，稱為離散量。能夠自由分開和結(jié)合的東西，如水等，就稱為連續(xù)量。長度、重量、面積、體積、時間、密度、溫度等，都是連續(xù)量。連續(xù)量的特征是不論多少都能分割，也能自由地結(jié)合，并且容易比較大小。用長度來表示的話，連續(xù)量所具有的這些特性都可以鮮明地表達(dá)出來，這就是笛卡爾原則——把全部的連續(xù)量用長度來表示。量杯就是把體積轉(zhuǎn)換成長度的工具；桿秤就是把重量轉(zhuǎn)換成有刻度的長度的工具；鐘表就是把時間轉(zhuǎn)換成表盤的長度（曲線長度）的機械；還有溫度計是把溫度這一連續(xù)量轉(zhuǎn)換成了長度；汽車的速度計也是把速度這一連續(xù)量變成曲線的長度。而且，離散量和連續(xù)量之間是可以相互轉(zhuǎn)換的。俄國有一個故事：有位老奶奶要給三個孫子分吃兩個土豆，因為不好分割，就把土豆做成土豆泥，分給三個孫子吃了。老奶奶是把離散量的土豆，變成了連續(xù)量的土豆，從而解決了難題。我們說多少米布料是連續(xù)量，但若將其縫制成人們所穿的衣服，就成為離散量了。因此，離散量和連續(xù)量都可以在線段圖上用長度表示出來。

基于以上認(rèn)識，教師就能做到“腹有詩書氣自華”，知其然且知其所以然，教學(xué)的展開也就非同一般。學(xué)生在學(xué)習(xí)“速度、時間、路程”時，通常都用線段圖來表示這三個量，教師可以引導(dǎo)學(xué)生回顧以前學(xué)過的知識：哪些量也可以在這樣的線段圖上表示出來，學(xué)生在教師的啟發(fā)下會想到“單價、數(shù)量、總價”可以相應(yīng)表示，學(xué)生在高年級學(xué)習(xí)“工效、時間、工作總量”之后，就會發(fā)現(xiàn)這些量都可以在同一幅線段圖上進(jìn)行表示（如圖1）。

圖1

教師在關(guān)注知識內(nèi)涵之后，教學(xué)就不會局限于一堂課的內(nèi)容，而會跨越本課知識將其他相關(guān)內(nèi)容聯(lián)系起來；學(xué)生的學(xué)習(xí)也隨之發(fā)生變化，提高了對數(shù)學(xué)知識內(nèi)在聯(lián)系的認(rèn)識，在學(xué)習(xí)的廣度上實現(xiàn)了跨越。

二、關(guān)注知識本源，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)在深度上實現(xiàn)理解

作為小學(xué)數(shù)學(xué)教師，理應(yīng)了解一些數(shù)學(xué)史。奧地利著名物理學(xué)家、哲學(xué)家馬赫曾經(jīng)說過：“沒有任何科學(xué)教育可以不重視科學(xué)的歷史與哲學(xué)。”這同樣適用于數(shù)學(xué)教育。在數(shù)學(xué)和人文之間只有一座橋梁，那就是數(shù)學(xué)史，建造這座橋梁是我們這個時代數(shù)學(xué)教育的需要。數(shù)學(xué)史是一個巨大的寶藏，其中包含大量的教學(xué)素材。也許有人會說：“我對數(shù)學(xué)史一無所知，不也把數(shù)學(xué)教得很好嗎？”但是，從教材中我們可能只看見一棵樹，從歷史中我們卻可能看到一片森林。

翻開數(shù)學(xué)史，我們發(fā)現(xiàn)人類對于負(fù)數(shù)的感知和使用就比較遲緩。中國古代數(shù)學(xué)家僅僅是因為解方程的需要而率先使用負(fù)數(shù)，但對負(fù)數(shù)的認(rèn)識是朦朧的。在西方，許多數(shù)學(xué)家都不認(rèn)可負(fù)數(shù)。13世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契認(rèn)為：方程x+36=33沒有根，除非第一個人（x）欠債3個錢幣；16世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家斯蒂菲爾指出：0減去一個大于0的數(shù)所得結(jié)果 “小于一無所有”是“荒謬的數(shù)”；17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家帕斯卡則認(rèn)為：0減去4純屬無稽之談。這其中的原因是負(fù)數(shù)不像自然數(shù)、分?jǐn)?shù)那樣來自人類豐富的數(shù)數(shù)、分配實物和測量的實踐活動，也不像自然數(shù)、分?jǐn)?shù)都有實物為例；負(fù)數(shù)不能“可視”，雖也有負(fù)債、欠賬之說，但卻不能具體指物為負(fù)。

汪曉勤教授認(rèn)為人對數(shù)學(xué)的理解過程與數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展過程具有一定的平行性，這是數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的理論基礎(chǔ)。同時，他也提出不能生硬地為歷史而歷史，必須兼顧知識點的歷史發(fā)生、發(fā)展順序、邏輯順序以及兒童的心理發(fā)生、發(fā)展順序。由此看來，“負(fù)數(shù)”的認(rèn)識就不能直接按照歷史進(jìn)行教學(xué)。引入負(fù)數(shù)既不能通過一元一次方程或二元一次方程組，也不能通過 “直接從零中減去一個正數(shù)”，只能通過相反意義的量。我們不能僅僅局限于書寫形式上的不同，而要注重負(fù)數(shù)表示的本質(zhì)意義；我們不能僅僅局限于列舉幾組反義詞，而要注重表達(dá)的是相反意義的量。為了加深對正、負(fù)數(shù)的意義及對具有相反意義的量的理解，可以出示田徑運動員比賽時的風(fēng)速牌，讓學(xué)生理解由于風(fēng)向和運動員的運動方向相反，所以風(fēng)速有時也會用負(fù)數(shù)表示，還可以出示“+8”和“-5”，讓學(xué)生結(jié)合具體事例來說說這兩個數(shù)表示的意思，等等。這樣教學(xué)，詮釋了“+”和“-”作為性質(zhì)符號有著更深層的含義：與問題中意義表達(dá)同向的為“+”，與問題中意義表達(dá)反向的為“-”，向?qū)W生滲透相反意義所隱含的辯證關(guān)系。

從歷史的“森林”中，還可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生構(gòu)建負(fù)數(shù)的理性認(rèn)識，困難之處不在于概念本身的高度抽象性，而在于如何突破原有認(rèn)識，把負(fù)數(shù)和0的意義溝通起來，得到深刻的理解。我們要讓學(xué)生的認(rèn)識從0表示沒有，表示開始突破到0，還可以表示分界，表示基準(zhǔn)：大于分界0的數(shù)是正數(shù)、小于分界0的數(shù)是負(fù)數(shù)；我們還要讓學(xué)生的認(rèn)識從0是固定的分界、基準(zhǔn)突破到分界、基準(zhǔn)是相對的，是可以隨著問題的情境而變化的。因此，在運用教材中氣溫、海拔的例子之后，選用電梯上下樓的情況，以地面為基準(zhǔn)，地下2層可以用-2表示，以5樓為基準(zhǔn)，往下3層也可以記作-3。

教師借助數(shù)學(xué)史，從知識本源中加以吸納，并由此開展教學(xué)，那么，數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)意義在學(xué)生學(xué)習(xí)中就能得以明亮，學(xué)生的學(xué)習(xí)就會深刻透徹，在深度上實現(xiàn)理解。

三、關(guān)注知識體系，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)在貫通度上實現(xiàn)融合

數(shù)學(xué)是一門非常系統(tǒng)的科學(xué)，有其自身的知識體系。我們無法將這種結(jié)構(gòu)體系直接給予學(xué)生，所以就產(chǎn)生了數(shù)學(xué)的教學(xué)結(jié)構(gòu)。教學(xué)結(jié)構(gòu)就是由相關(guān)專家一起將數(shù)學(xué)知識根據(jù)不同學(xué)段學(xué)生的認(rèn)知水平，進(jìn)行科學(xué)的分解和安排。因此，數(shù)學(xué)中的任何概念都不是孤立的、靜止的，都一定會有與之相聯(lián)系的知識。縱向聯(lián)系構(gòu)建了知識體系的理論框架，橫向聯(lián)系則擴大了知識的容量，使體系更加充實、完善。為此，我們的教學(xué)要有橫向的關(guān)聯(lián)和縱向的穿插，要注重知識的“生長點”與“延伸點”，把每堂課教學(xué)的知識置于整體的知識體系中，處理好局部與整體的關(guān)系，為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)和發(fā)展做好鋪墊。

就“用數(shù)對確定位置”而言，是研究二維平面中的位置確定。從縱向上看，之下有一維的位置確定，如“一列隊伍中老爺爺排在第3個”之類的問題，就是用單個數(shù)在一條坐標(biāo)軸上確定位置點；之上有三維空間中的位置確定，就是用數(shù)組在立體空間中確定位置點；從橫向上看，之前有“小明坐在第3排第4個座位”之類相對具象的二維問題，之后有學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系，接觸到二維平面中相對復(fù)雜的四個象限，并由此來確定位置。

基于這樣“上通下達(dá)、瞻前顧后”的認(rèn)識，教學(xué)中就可以把這些知識編織起來。首先，教學(xué)由一維數(shù)軸中的位置確定入手，通過在公交車站牌上創(chuàng)造出數(shù)學(xué)形式的規(guī)定（如圖2），引出小學(xué)生可以接受

圖2

的數(shù)軸三要素的表達(dá)：起點（原點）、方向、順序（單位），進(jìn)而可以用一個數(shù)來確定位置。其次，利用小紅處于教室位置的二維平面中，引出需要用兩個數(shù)才能確定她的位置，即用數(shù)對確定位置，再出示四個地點（如圖3），學(xué)生會主動生發(fā)出構(gòu)建坐標(biāo)才能確定它們位置的意愿，接著呈現(xiàn)坐標(biāo)并要求學(xué)生用數(shù)對確定每個地點的位置。然后分別在幼兒園和小學(xué)的對稱之處呈現(xiàn)兩個地點，激發(fā)學(xué)生思考如何用數(shù)對來確定這兩個點，將第一象限適度延伸至其他象限。最后，課尾讓學(xué)生試著確定魔方中任意一塊的位置，將學(xué)生的思維拓展至三維中的位置確定，點到為止即可。

圖3

這樣的教學(xué)架設(shè)了不同學(xué)段之間的橋梁，形成結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)脈絡(luò)，從一維用一個數(shù)確定位置點，到二維用數(shù)對（兩個數(shù)）確定位置點，延伸至三維用數(shù)組（三個數(shù)）確定位置點，并且厚實了二維中用數(shù)對確定位置的學(xué)習(xí)，充分呈現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的整體關(guān)聯(lián)，將相關(guān)知識編織在了一起，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)融會貫通。

總之，每位數(shù)學(xué)教師都需要提高自身的學(xué)科素養(yǎng)，在知識層面上要關(guān)注體系、了解本源、把握內(nèi)涵，對教學(xué)內(nèi)容做到清晰認(rèn)識和精準(zhǔn)理解。故步自封，或許感覺教學(xué)中沒什么不一樣，但是學(xué)則不固，我們就會不一樣，學(xué)生的學(xué)習(xí)就會具有立體感。如同《我們不一樣》歌詞中寫道的：這片天你我一起撐起，更努力只為了我們想要的明天。?