《坐標系與參數方程》的教育價值的挖掘

黃汝平

摘 要：從2016年起，福建省采用全國Ⅰ卷，選做題從2017年起只有兩題，因而《坐標系與參數方程》顯得格外重要，本文從多角度剖析此選講的教育價值和帶來的思考，

關鍵詞： 學科內之間聯系 數學思想方法 數學能力的培養 跨學科之間聯系和應用意識 工具性 數學文化與數學美 信息技術

本專題是在學習了直線與方程、圓與方程以及圓錐曲線與方程的基礎上，對解析幾何初步內容進一步深化。學習坐標系與參數方程，有助于學生體會解決問題中數學方法的靈活多變。本專題的教育價值，從以下幾個方面得到體現：

一、重視與學科內之間聯系

從縱向看，直線、圓、圓錐曲線等基礎知識、基本方法和基本技能發揮著重要作用。比如直角坐標系中，用數組表示點的坐標，用表示曲線的方程。在極坐標系中用數組表示點的坐標，用表示曲線的方程等等，揭示新舊知識的內在聯系。從橫向看，此分支與數學科的其它分支的知識進行交匯。如與三角函數、平面向量、函數等知識交匯。如極坐標（方程）與直角坐標（方程）的互化公式，利用了三角函數定義揭示點的橫、縱坐標與的關系。又如將橢圓的參數方程化為普通方程，應用了同角三角函數的基本關系式。在互化過程中，還應用了代入法、平方消元法、加減消元法等數學方法。

二、重視數學思想方法

數學思想方法在本專題中應用廣泛。① 引導學生運用類比的思想、如極坐標系與直角坐標系類比能更好地理解極坐標定義，為正確進行直角坐標與極坐標互化提供保證。又如求簡單的曲線的極坐標方程；② 考查數形結合思想、函數與方程的思想：如求圓心的極坐標為，半徑為（）的圓的方程；③ 化歸與轉化思想：如畫出方程的圖像，這問題情景是陌生的，就要引導學生將陌生問題化為熟悉的問題即將極坐標方程化為直角坐標方程；④ 有限與無限思想：如極坐標與直角坐標比較有許多長處，它也有不足，平面上的點對應的極坐標卻有無數個。如果ρ>0，0≤θ<2π或-π<θ≤ π，那么除極點外，平面內的點和極坐標就可以一一對應了。注意：如無特別要求，通常取ρ≥0 ，。數學思想和方法是數學知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊涵在數學知識發生、發展和應用的過程中，因此，在平時教學中要意識進行地滲透 ，讓學生在學習中得到潛移默化。

三、重視數學能力的培養

新課程改革非常突出能力培養，本專題也不例外，學生通過學習，了解曲線的多種表現形式，體會從實際問題抽象出數學問題的過程，培養探究數學問題的興趣和能力。1。抽象概括能力：如學習參數方程時，教材從拋物運動談起，從物理現象抽象出數學問題的本質；2。運算求解能力和推理論證能力：教材P12 例2題目的表面意義求曲線的直角坐標方程。當求出了曲線的普通方程后，進一步探究曲線的類型，運用了分類與整合的思想，對進行討論，得出了當取不同的值時，表示不同的曲線（橢圓、拋物線和雙曲線）。最后下了極其耀眼的結論：是橢圓、拋物線與雙曲線這三種圓錐曲線的統一的極坐標方程。這道題信息量很大，除了考查了分類與整合、化歸與轉化，特殊與一般等數學思想外，培養學生運算求解能力、推理論證能力和抽象概括能力，最想說明的是極坐標方程表示曲線的簡潔。

四、重視跨學科之間聯系和應用意識

比較典型的教材引用了物理的斜拋運動和平拋運動的兩個實際問題來說明參數是聯系之間關系的中介變量，由于例子的背景是學生所熟悉的，體現了化歸問題的簡單原則，對于我們的教學有借鑒作用的。數學與物理的聯系是緊密的，類似于數與形的關系。如圓的參數方程若寫成（），

則具有物理意義。又如直線的參數方程，

其中的物理意義就是位移，在數學中稱為數量。在物理學中，位移是矢量，它是具有大小，又有方向的。這樣解釋學生對的幾何意義也就不難理解。再如物理學科中簡諧振動的圖象中研究振動質點的速度，從數學實質看就是研究過曲線上的點的切線的斜率變化，應用數形結合能很直觀地分析出振動質點的速度變化情況。數學是物理的工具，物理促進數學的發展。啟發學生對這類問題可從物理、數學不同的角度去分析。

五、重視極坐標法和參數法的工具性作用

1.實際應用：學生的學習用品中直尺用來畫直線、圓規用來畫圓，那要畫橢圓呢？有這工具嗎？教材介紹了橢圓規的工具制作，若對其原理進行分析，導入了參數的選取問題。可增強學生解題參數意識。

2.解題方法：我們一般認為，三角函數、平面向量是數學解題工具，那么學習了極坐標方程和參數方程，極坐標法和參數法也可作為工具。在求平面上的動點的軌跡方程便能體現它們的優越性。

題目： 已知定點，，及定直線，是上的動點，且滿足，求直線的交點的軌跡方程。

分析：觀察圖形，由于點M的軌跡與直線PF（QF）的運動有關，可考慮選PF的斜率為參數；若注意到M的軌跡又取決于P、Q，故又可以考慮P、Q的坐標為參數。

評析： 許多軌跡問題都與直線的運動或點的運動有關。因此直線的斜率與動點坐標是使用得最多的參數之一。

六、數學文化與數學美

本專題作為選修教材，其中大量體現著數學文化與數學美，我們看看教材中列舉了美麗曲線種種。如擺線、卡丹轉盤和齒輪、葉形線、對數螺線、玫瑰線（如圖，用幾何畫板作）等等，無不體現著數學美，應讓學生好好地去欣賞，去思考這些充滿美感的曲線怎么畫的？在感受數學的曲線美的同時，別忘了三位數學家：阿基米德、卡丹和帕斯卡。在幾何學上，卡丹發明了畫橢圓的“卡丹轉盤”，是研究擺線的第一人；帕斯卡系統研究擺線，寫出三本關于擺線的著作；阿基米德是歷史上最偉大的數學家之一，是發現且證明圓面積公式與球體積的第一人，其名著《論螺線》論述阿基米德螺母和空間等進螺線的性質。這些數學家取得偉大的成就，為真理而孜孜以求的奮斗精神，以及對美和善的崇高追求，不就是培養學生良好的情感態度和價值觀的典范。

七、信息技術應用

利用現代學習工具，促進學生積極參與數學活動：猜想論證，探索與推理，問題的提出與分析解決，計算與檢驗等，可加深對數學概念、思想方法的理解，培養分析問題與解決問題的能力。如在學習平面直角坐標系的伸縮變換時可借助幾何畫板引導學生觀察動點變化規律，猜想其軌跡，然后再進行論證。這樣設計激發了學生的好奇心，增強學習數學的興趣。