韋達定理的風采

（云南省玉溪市教育科研究所 云南玉溪 653100）

中學學習的韋達定理，在今后的數學學習中一直都起著很重要的作用，它在中學階段的學習和考題中都是重點內容，因此，對此定理要給以重視，要學好用好。下面看看韋達定理與其它知識的合作風采。

一、韋達定理與中點坐標公式聯袂合作

（Ⅰ）證明：拋物線C在N處的切線與AB平行；

（Ⅱ）是否存在實數k使若存在，求k的值;若不存在，請說明理由。

[解析]（Ⅰ）設A（x1，2x12），B（x2，2x22），

[評析]在解題過程中，若涉及到直線與圓錐曲線，線段的中點時，一般就用韋達定理和線段的中點坐標公式來求解。

[評析] 一般地，解含常數的一元二次方程時，常設出方程的兩根，通過整體代換得到需要的答案，而其兩根不需要求出，即設而不求。

二、韋達定理與弦長公式親密聯合

（Ⅰ）證明拋物線C在N處的切線與AB平行；

[解析]（Ⅱ）設A（x1，2x12），B（x2，2x22），由（Ⅰ）得，

[評析]在與圓錐曲線題目里，遇到線段時，常用韋達定理和弦長公式聯合解決問題。

三、韋達定理與垂直向量的交匯

例4.（2008·遼寧卷）在平面直角坐標系xoy中，點P到兩點的距離之和等于4，設點P的軌跡為C，直線與C交于A、B兩點。

（Ⅰ）求C的方程；

[解析]（Ⅰ）設P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），

四、韋達定理與數列的協調對接

例5.（2008·全國I卷）雙曲線的中心為原點O，焦點在x軸上，兩條漸近線分別是，經過右焦點F垂直于的直線分別交于A、B點。已知成等差數列，且與同向。

（Ⅰ）求雙曲線的離心率；

（Ⅱ）設AB被雙曲線截得的線段長為4，求雙曲線的方程。

[評析]該題目里給出了直線與圓錐曲線相交所成線段的等量關系，需按題意列出等式，代入韋達定理對應的代數式，解出參數的值，則可得到題目所要的答案。

韋達定理在解析幾何的解題中應用比較廣泛，其算理簡單，算法單一，只需在化簡計算時仔細認真點，則可輕松拿到解析幾何的高分。