精設(shè)題組 八大途徑破解圓錐曲線離心率范圍

廣東

溫伙其

(作者單位：廣東省廣州市第十六中學(xué))

精設(shè)題組 八大途徑破解圓錐曲線離心率范圍

廣東

溫伙其

離心率是圓錐曲線重要幾何特征之一，各種教材都會詳細介紹，但對離心率范圍問題甚少闡述.近年高考全國卷對離心率的取值范圍的考查已成為高頻考點和重點.本文通過設(shè)置題組的形式，歸納了八種常見解決離心率取值范圍的途徑，探討解題的思路與要點，供讀者參考.

題組一 函數(shù)法，即構(gòu)造離心率的函數(shù)關(guān)系式，借助值域求范圍

【解題分析】

【解題要點】

1.根據(jù)題設(shè)條件，如曲線的定義、等量關(guān)系等建立離心率和其他一個變量的函數(shù)關(guān)系式；

2.確定函數(shù)的定義域及單調(diào)性；

3.利用函數(shù)求值域的方法求解離心率的范圍.

題組二 角度法，即借助角的大小(鈍角、銳角、直角)構(gòu)造a,b,c齊次不等關(guān)系

1.如圖，橢圓的中心在坐標原點O，頂點分別為A1，A2，B1，B2，焦點分別為F1，F(xiàn)2，延長B1F2與A2B2交于P點，若∠B1PB2為鈍角，則此橢圓的離心率的取值范圍是________．

【解題分析】

【解題要點】

1.鈍角可得向量的數(shù)量積大于0；

2.銳角可得向量的數(shù)量積小于0；

3.直角三角形則有直角邊小于斜邊；

4.根據(jù)上述大小關(guān)系整理為關(guān)于a,b,c的齊次不等式，轉(zhuǎn)化為離心率的不等式.

題組三 條件法，即借助條件的不等關(guān)系，構(gòu)造a,b,c的齊次不等式

【解題分析】

【解題要點】

1.找出題目本身給出的不等條件，如已知某些量的范圍，線段的長度，面積的取值等；

2.把上述的量用a，b，c表示；

3.整理得離心率的不等關(guān)系式，從而求解.

題組四 三邊大小法、均值定理法和性質(zhì)法，構(gòu)造a,b,c齊次不等關(guān)系

【解題分析】

【解題要點】

1.三角形兩邊之和大于第三邊，三角形兩邊之差小于第三邊；

4.把上述大小關(guān)系整理為關(guān)于a,b,c的齊次不等式，轉(zhuǎn)化為離心率的不等式.

題組五 圖象法，即借助特殊圖象特征構(gòu)造a,b,c齊次不等關(guān)系

【解題分析】

【解題要點】

1.圓和圓錐曲線的交點數(shù)量問題，即為它們的位置關(guān)系問題，作圖可尋找a，b，c和半徑大小的關(guān)系；

2.直線和雙曲線的交點問題，即為它們的位置關(guān)系問題，作圖可得的直線斜率和漸近線斜率大小的關(guān)系；

3.把上述大小關(guān)系整理為關(guān)于a,b,c的齊次不等式，轉(zhuǎn)化為離心率的不等式.

題組六 有解成立法，即把存在性(有解)和恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值

1.題目同題組五第1題.

【解題分析】

【解題要點】

1.函數(shù)m=f(x)有解，即不等式f(x)min≤m≤f(x)max成立；

2.函數(shù)m≥f(x)恒成立，即不等式m≥f(x)max成立；

3.函數(shù)m≤f(x)恒成立，即不等式m≤f(x)min成立；

4.把上述大小關(guān)系整理為關(guān)于a,b,c的齊次不等式，轉(zhuǎn)化為離心率的不等式.

題組七 位置關(guān)系法，即利用點在曲線內(nèi)(外)部建立離心率不等式

【解題分析】

【解題要點】

3.把上述大小關(guān)系整理為關(guān)于a,b,c的齊次不等式，轉(zhuǎn)化為離心率的不等式.

題組八 判別式法，即轉(zhuǎn)化為a,b,c齊次方程解的數(shù)量問題

1.題目同題組五第1題.

2.題目同題組七第2題.

【解題分析】

【解題要點】

1.直線與圓錐曲線的交點問題，聯(lián)立方程后，轉(zhuǎn)化為一元二次方程的求判別式問題；

2.直線與雙曲線的交點在同一支(在不同的兩支)問題，轉(zhuǎn)化x1·x2的符號問題；

3.把上述問題整理為關(guān)于a,b,c的齊次不等式，轉(zhuǎn)化為離心率的不等式.

(作者單位：廣東省廣州市第十六中學(xué))