一類極易出錯的遺傳概率計算題解析

浙江 王苗苗

近日，一道以人類血型遺傳為背景，考查基因分離定律應用的遺傳概率計算題在網上引起了廣泛討論，至少出現了3種答案。此類遺傳概率計算題難度較大，即便是教師，稍微不慎也會陷入思維誤區。本文以此題為例，對這類題目的典型錯誤算法進行分析，并呈現正確的解答思路，以期能夠為各位教師的教學提供參考。

1.原題呈現

人類ABO血型的遺傳由IA、IB、i三個復等位基因控制，基因型與表現型的對應關系是：IAIA、IAi為A型血，IAIB為AB型血，IBIB、IBi為B型血，ii為O型血。一個父母基因型分別為IAIA和IAi的A型血男子與一個父母基因型均為IBi的B型血女子結婚，若要生2個小孩，則第一個孩子為A型血且第二個孩子為B型血的概率是_________。（根據需要，進行了部分刪減）

原題參考答案：1/24

2.試題解析

男子父母的基因型分別為IAIA和IAi，故該男子的基因型為 1/2 IAIA、1/2 IAi；女子父母的基因型均為 IBi，且該女子為B型血，易算出女子基因型為1/3 IBIB、2/3 IBi。

2.1 錯誤算法一

這對夫婦生出A型血孩子概率的計算思路：當女子基因型為IBIB時，二者不可能生出A型血孩子；當女子基因型為IBi、男子基因型為IAIA時，生出孩子為A型血的概率為1/2，而女子基因型為IBi、男子基因型為IAIA的概率分別為2/3、1/2，因此，這對夫婦生出A型血孩子的概率為1/2×2/3×1/2=1/6；同理，女子基因型為2/3 IBi、男子基因型為1/2 IAi時，生出A型血孩子的概率為1/4×2/3×1/2=1/12。因此，這對夫婦生出A型血孩子的概率為1/6+1/12=1/4。同理，這對夫婦生出B型血孩子的概率的計算思路：男子基因型為IAIA時，二者不會生出B型血孩子；男子基因型為1/2 IAi、女子基因型為1/3 IBIB，生出B型血孩子的概率為1/2×1/2×1/3=1/12；男子為基因型1/2 IAi、女子基因型為2/3 IBi，生出B型血孩子的概率為1/4×1/2×2/3=1/12；因此，這對夫婦生出B型血孩子的概率為1/12+1/12=1/6。故第一個孩子為A型血且第二個孩子為B型血的概率為1/4×1/6=1/24。原卷所提供的參考答案即如此算得，但此答案是錯誤的。

錯因分析：根據概率運算法則，相互獨立事件同時發生的概率等于它們分別發生的概率的乘積。顯然，上述計算是將“第一個孩子為A型血”和“第二個孩子為B型血”當作相互獨立事件看待。但事實上，二者并非相互獨立事件，因為當第一個孩子為A型血時，即可確定女子的基因型只能為IBi，在計算第二個孩子血型為B型的概率時便不應再將女子基因型為IBIB的概率考慮進去。也就是說，這種計算忽略了這兩個孩子的父母是同一對夫婦這一條件，即兩個事件存在相交關系。

2.2 錯誤算法二

同上述算法，這對夫婦生出第一個孩子為A型血孩子的概率為1/4。當第一個孩子為A型血時，女子基因型只能為 IBi，而男子基因型為 1/2 IAIA、1/2 IAi，所以生出第二個孩子為B型血的概率為1/2×1/4=1/8。則第一個孩子為A型血且第二個孩子為B型血的概率為1/4×1/8=1/32。

錯因分析：算法二糾正了算法一的錯誤，但忽略了另一問題：該男子基因型為IAIA或 IAi時，雖然都可以和基因型為IBi的女子生出A型血的孩子，但是概率卻是不同的，前者為1/2，后者為1/4，也就是說當男子基因型為IAIA時更有可能生出A型血的孩子。因此，若第一個孩子為A型血，則該男子的基因型不再是1/2 IAIA、1/2 IAi，而是會向IAIA發生一定的傾斜。這是一種根據已出生后代的表現型來修正雙親基因型或婚配組合的初始概率的方法，在遺傳咨詢再危險率的計算中具有十分重要的應用。上述算法中，當第一個孩子為A型血時，對女子的初始基因型概率1/3 IBIB、2/3 IBi修正為 1 IBi，但卻未對男子的初始基因型概率進行修正，這顯然是有問題的。

2.3 正確算法一

如上述分析，這對夫婦生出第一個孩子為A型血的概率為1/4。當第一個孩子為A型血時，女子的基因型不再是 1/3 IBIB、2/3 IBi，只能為 IBi；男子基因型也不再是1/2 IAIA、1/2 IAi，應進行修正。若要計算修正后的基因型概率，則需引入貝葉斯定理。

貝葉斯定理表示假設某一事件A已經發生，該事件可能是由一組原因事件（Bi）引發，那么在事件A已經發生的情況下，某一特定原因出現的概率P（Bi│A），等于未發生該事件A時，該原因出現的概率P（Bi）乘以該事件對該原因的概率P（A│Bi），除以事件A發生的總概率。該定理可書寫成如下等式：

其中P（Bi）為前概率，P（A│Bi）為條件概率，P（Bi）P（A│Bi）叫聯合概率，即前概率與條件概率之積，P（Bi│A）叫后概率。貝葉斯公式也叫逆概率公式，它實際上是在知道結果的情況下來推斷原因事件的概率，它反映了實驗之后對原因發生的可能性大小的重新認識。下面對男子的基因型應用貝葉斯公式進行分析：

設A={生第一個孩子為A型血}，B1={男子基因型為 IAIA}、B2={男子基因型為 IAi}，則P（B1）=1/2，P（B2）=1/2，P（A│B1）=1/2，P（A│B2）=1/4。因此，P（B1）P（A│B1）=1/2×1/2=1/4，P（B2）P（A│B2）=1/2×1/4=1/8。

則根據貝葉斯公式，即修正后男子基因型為IAIA的概率為2/3，IAi的概率為1/3。為便于理解，現將男子基因型相關概率列表呈現。

男子基因型的概率

女子的基因型 IBi，男子基因型2/3 IAIA、1/3 IAi，則生出第二個孩子為B型血的概率為1/3×1/4=1/12。那么，第一個孩子為A型血、第二個孩子為B型血的概率為1/4×1/12=1/48。

2.4 正確算法二

男子的基因型為 1/2 IAIA、1/2 IAi；女子的基因型為1/3 IBIB、2/3 IBi。因此，這對夫婦的基因型組合有 1/2 IAIA×1/3 IBIB、1/2 IAIA×2/3 IBi、1/2 IAi×1/3 IBIB、1/2 IAi×2/3 IBi四種。只有該夫婦基因型組合為1/2 IAi×2/3 IBi時，才可能生出既有A型血又有B型血的孩子。當男女雙方的基因型分別是IAi、IBi時，第一個孩子為A型血的概率為1/4，第二個孩子為B型血概率也為1/4，則第一個孩子為A型血、第二個孩子為B型血的概率為1/4×1/4=1/16。

又因男子為IAi、女子為IBi的概率分別為1/2和2/3，故題目所求的概率應該為1/2×2/3×1/16=1/48。

值得注意的是，若題中問法改為“求一個孩子為A型血、另一個孩子為B型血的概率”，則需要考慮“第一個孩子為A型血、第二個孩子為B型血”和“第一個孩子為B型血、第二個孩子為A型血”兩種情況，答案為1/48×2=1/24。有些老師和同學計算出的答案為1/24，也許就是沒有對這兩種問法的區別理解清楚。上述正確解法中，由于高中學生未接觸過貝葉斯定理，理解起來相對困難，因此，針對此類題型建議教師在教學中重點介紹“正確算法二”的解答思路。

3.教學建議

遺傳概率的計算是高中生物學中的一個難點。尤其當雙親基因型不確定的情況下同時研究多個子代的表現型，更是極易算錯。那么，針對這種情況，教師在教學過程中采取何種策略才能提高學生的正確率呢？筆者認為，教師可從以下幾個方面的工作入手。

3.1 協助學生分析，找到思維誤區

學生首次遇到這種類型的試題時錯誤率通常是很高的。此時的首要任務是要協助學生找到思維誤區，知道為何出錯，才有助于形成正確思路。筆者認為，“學生說題”是一種能較好地呈現學生解題思路的做法。教師可先讓做錯的同學陳述解題過程，由于同學們的解題思路不盡相同，在該同學陳述過程中其他同學可隨時質疑，二者各自據理力爭，其他同學也可隨時參與辯論，直至找到錯因。教師也可讓計算正確的同學呈現自己的解答過程，讓出錯的同學將自己的思路與之比較以尋找錯因。這種方式比教師直接指出學生的錯誤更能讓他們對自己的思維誤區認識深刻。

3.2 通過自主糾錯，理清解題思路

協助學生找到思維誤區后，還應將這類試題的完整解答思路整理清楚，找到解決這類試題的規律，學生只有建立解題模型方能舉一反三靈活運用。筆者的做法是要求學生課后及時進行自主糾錯，糾錯采用“四色筆”模式：分別用四種顏色呈現試題、答案、錯誤原因、正確解答過程。教師再及時進行批閱，針對仍然存在疑問的同學進行個別指導。這樣不僅能夠盡可能地保證每位同學都能掌握這類試題的正確解法，還能為他們后期的復習積累文字資料。

3.3 利用變式訓練，強化正確算法

為了使學生能夠對這類試題的解法掌握得更加牢固，教師可收集或編制不同背景的此類試題（如下文中的“變式訓練”）對學生進行變式專題訓練，訓練過程中要求學生仍然呈現計算過程。相信經過這樣的幾輪強化，學生應該能夠觸類旁通，對此類試題的解答得心應手。

【變式訓練】遺傳工作者在進行遺傳病調查時發現了一個單基因遺傳病甲的家系（基因為A、a），系譜如圖所示，Ⅱ-4、Ⅱ-6不攜帶致病基因，Ⅳ-1和Ⅳ-2為雙胞胎。

請回答：雙胞胎（Ⅳ-1和Ⅳ-2）同時患有甲種遺傳病的概率是_______。

【參考答案】1/144

【解析】由于甲病具有“無中生有”特點，且女患者父親正常，故遺傳方式為常染色體隱性遺傳；因為Ⅱ-2患病，所以Ⅰ-1和Ⅰ-2的基因型均為Aa，則Ⅱ-3的基因型為1/3 AA或2/3 Aa，Ⅱ-4不攜帶致病基因，其基因型為AA，所以Ⅲ-1基因型為2/3 AA或1/3 Aa，同理，Ⅲ-2基因型也為2/3 AA或1/3 Aa。則Ⅲ-1與Ⅲ-2的基因組合有AA×AA、AA×Aa、Aa×AA、Aa×Aa四種，其中只有組合Aa×Aa才能生出患甲病的孩子，生出Ⅳ-1患病概率為1/4，Ⅳ-2患病概率也為1/4，則雙胞胎均患病概率為1/4×1/4=1/16，而又因為Ⅲ-1與Ⅲ-2基因型為Aa的概率均為1/3，故雙胞胎同時患甲病的概率應為1/16×1/3×1/3=1/144。