一道高三調研試題的解題思維分析與方法探究

陳 亮

（江蘇省華羅庚中學 江蘇 常州 213200）

一、試題呈現

二、試題評價

本題是填空的壓軸題，以圓為背景，條件以向量形式表示，以最值為目標，將圓、向量函數、方程、不等式、軌跡融為一體，綜合性很強。本題的入口較寬，但不論從解幾方向還是向量等都需要經歷一定的轉化過程，這也是本題的難點，最終使得很多學生“無功而返”。

三、試題初探

本題條件豐富多樣，所以解題的第一步是將題中的有效條件提取出來并作一些顯性轉化，通過對條件的分析本題可以得到如下信息（如圖1）

信息2：由向量加法的平行四邊形法則或常用的三角形中線的向量形式得：（為中點）；

以上信息是審題之后較直接的條件提煉與簡單的轉化，在上述信息的基礎上作進一步的聯想，繼續得到如下信息（如圖2）

book=257,ebook=263

即

本題如果就到此為止的話未免會覺得有點意猶未盡，給人感覺問題研而不透。

四、試題再探

1.數形結合 凸顯本質

在解析幾何中我們常遇到一類距離最值問題，此類問題我們通常可以先考慮圖形，由圖形可以直接判斷最值，那么本題能否用圖形得到呢？

即

2.變換形式 展現新解

本題在表述上是以向量形式，那么能否直接用向量解題呢？（1）條件全面“向量化”

（2）基向量的確定

全面“向量化”之后，帶來了新的問題：向量太多。遇到這一問題在向量中我們常選擇基向量進行統一，本題中可以表示為：；可以表示為.這樣只需三個向量即可。

3.變化視角 精彩紛呈

由柯西不等式得到：

五、題后反思

1.解題分析應有針對性的滿足不同學生的需求

數學解題分析應充分考慮學生的主體特性，以生為本，立足于服務學生、發展學生的思維為目的。教學目標的價值取向是由知識本身和學生的認知能力共同決定的，不同知識層次的學生對不同知識結構的分析和理解能力也各不相同，這需要對教學目標（包括長期與短期教學目標）進行科學的價值定位，因此，對學生的思維分析是“堵”還是“疏”，不能僅僅以本節課的教學計劃是否完成來判斷，以本文為例，文中展現的幾種思維角度各異的解法探究，針對學生的思路進行有效的思維分析，有針對性的滿足了不同層次學生的學習需求。

2.解題分析應尊重“思維自然化”的原則

自然化的數學解題分析，是樸實的思維，強調思維過程的自然銜接，聯系、轉化合乎情理，思維過程層層推進，解題過程中淡化對技巧的依賴，實際上技巧一般也能通過普通的解法完成，只不過技巧來的更快一些，而普通方法學生更易接受，更能看清題中的來龍去脈，技巧往往顯得不夠自然。現代數學教學對通法越來越重視，對技巧往往是一帶而過，這樣的解題教學才是學生所需要的解題教學，才能被學生自然的理解并內化，學生才能逐漸學會如何進行有效而有序的思維，這對學生思維的培養大有裨益。

3.解題分析應有選擇性地運用新舊知識的聯系

實踐表明，在解題分析時，選擇具有良好結構性和邏輯性的認知起點，利用已知的知識體系建構數學，探究結構的“起源”或“發生”方法，通過轉換結構達到可理解性，促使學生完善、改良和發展對結構的認知能力，使學習者不斷吸收并應用新的數學知識，這樣做不僅符合學生的認知規律，同時也提升了教與學的和諧發展，讓講評課不再單調乏味。