再談初高中數(shù)學(xué)的銜接教學(xué)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)
——以高一《函數(shù)的單調(diào)性》教學(xué)為例

王征國

（福建省福清市宏路中學(xué) 福建 福清 350301）

初高中數(shù)學(xué)的銜接教學(xué)搞得好不好，對學(xué)生后續(xù)在高二、高三數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)有很大的影響。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展和學(xué)生高中數(shù)學(xué)成績的好壞，是每位高中數(shù)學(xué)教師都必須直面的問題。筆者依托高一《函數(shù)的單調(diào)性》的教學(xué)設(shè)計與實施，對上述問題進(jìn)行探討，取得了較好的效果。現(xiàn)將教學(xué)設(shè)計與同行進(jìn)行交流。

一、教學(xué)設(shè)計意圖

結(jié)合具體函數(shù)實例，根據(jù)已學(xué)過的函數(shù)圖像的特征，經(jīng)歷從具體的直觀描述到形式的符號表達(dá)的抽象過程，加深對函數(shù)性質(zhì)之一“函數(shù)的單調(diào)性”理解，體會用符號形式化表達(dá)數(shù)學(xué)定義的必要性，知道這樣的定義在討論函數(shù)單調(diào)性問題中的作用。

1.教材分析

函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，對函數(shù)單調(diào)性的理解應(yīng)通過觀察已學(xué)過的函數(shù)（特別是二次函數(shù)）圖像的特征，形成增（減）函數(shù)直觀認(rèn)識，再通過具體函數(shù)值的大小比較，認(rèn)識函數(shù)值隨自變量的變化而變化的規(guī)律。這樣為其它函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)也提供了可借鑒的方法依據(jù)。

2.學(xué)情分析

在初中階段，學(xué)生已經(jīng)初步了解一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象具有單調(diào)性的特征。在高中階段引入函數(shù)單調(diào)性概念時，可以從直觀認(rèn)識出發(fā)，提出合適的課堂討論問題，形成增（減）函數(shù)直觀認(rèn)識，再通過具體函數(shù)值的大小比較，認(rèn)識函數(shù)值隨自變量的變化而變化的規(guī)律。

3.教學(xué)任務(wù)

本節(jié)課的核心教學(xué)任務(wù)是在問題情境中引入函數(shù)單調(diào)性概念，在函數(shù)單調(diào)性概念的形成中，經(jīng)歷由具體到抽象、由圖形語言和自然語言到符號語言表達(dá)的過程，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。在把握函數(shù)單調(diào)性定義時，體會全稱量詞、存在量詞等邏輯用語的作用，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)。在函數(shù)單調(diào)性證明的過程中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)。

4.教學(xué)過程設(shè)計

（1）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題

①觀察圖中的各個函數(shù)圖像，你能說說它們分別反映了相應(yīng)函數(shù)的哪些變化嗎？

師：隨x的增大，y的值有什么變化？

②畫出下列函數(shù)的圖像，觀察其變化規(guī)律：

book=150,ebook=156（1）f(x) = x

（2）f(x) = x2

師：通過對圖像的觀察分析能得出什么結(jié)論？

生：不同的函數(shù)，其圖像的變化不同，同一函數(shù)在不同區(qū)間上變化趨勢也不同。

師：函數(shù)圖像的這種變化規(guī)律就是函數(shù)性質(zhì)的反映，這就是我們今天所要研究的函數(shù)的一個重要性質(zhì)——函數(shù)的單調(diào)性（引出課題）。

（2）講授新課

①問題：y = x2的圖像在y軸右側(cè)是上升的，如何用數(shù)學(xué)符號語言來描述這種“上升”呢？

設(shè)計意圖：讓學(xué)生通過觀察、思考、討論，歸納得出：

函數(shù)y = x2在（0，+∞）上圖像是上升的，用函數(shù)解析式來描述就是：對于（0，+∞）上的任意的x1，xx當(dāng)x1＜xx時，都有.即函數(shù)值隨著自變量的增大而增大，具有這種性質(zhì)的函數(shù)叫增函數(shù)。

②增函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當(dāng)x1＜x2時，都有f(x1)＜f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù).

③從函數(shù)圖像上可以看到，y= x2的圖像在y軸左側(cè)是下降的，類比增函數(shù)的定義，你能概括出減函數(shù)的定義嗎？

注意：

（1）函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)

（2）必須是對于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2；當(dāng)x1＜x2時，總有 f(x1)＜f(x2) .

④函數(shù)的單調(diào)性定義

如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上是增 函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間。

（3）例題分析，發(fā)展思維

根據(jù)函數(shù)圖像說明函數(shù)的單調(diào)性.

例1 如圖是定義在區(qū)間[-5，5]上的函數(shù)y=f(x)，根據(jù)圖像說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？

證明：略

由學(xué)生歸納總結(jié)

判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟

利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：

① 任取 x1，x2∈ D，且 x1＜x2；

② 作差 f(x2)－ f(x1)；

③變形（通常是因式分解和配方）；

④定號（即判斷差f(x2)－f(x1)的正負(fù)）；

⑤下結(jié)論（即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）。

師：函數(shù)的單調(diào)性一般是先根據(jù)圖像判斷，再利用定義證明。畫函數(shù)圖像通常借助計算機(jī)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時必須要注意函數(shù)的定義域，單調(diào)性的證明一般分五步：取值 → 作差 → 變形→ 定號 → 下結(jié)論。

二、教學(xué)反思

1.教材內(nèi)容的銜接

新課改后初中教材在內(nèi)容深度、廣度上面均大為削弱,包括如立方差公式、二次函數(shù)圖像與方程根分布及根與系數(shù)關(guān)系等知識點均改為在高一階段補(bǔ)充學(xué)習(xí)。這就要求高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)就初中數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的調(diào)整在高中數(shù)學(xué)教學(xué)作出適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充,如初中階段的多項式乘法運算中,學(xué)生已接觸到平方差、完全平方公式,在高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,教師就可以聯(lián)系該部分內(nèi)容,在此基礎(chǔ)上補(bǔ)充學(xué)習(xí)三個數(shù)和的完全平方、立方和、差公式。

2.教學(xué)方法、學(xué)習(xí)方法的銜接

通過與學(xué)生座談，我了解到目前初中數(shù)學(xué)教學(xué)方法主要靠做題目，初中階段的教學(xué)內(nèi)容較淺，知識點少,學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)基本上都是以“教師講，學(xué)生聽，教師布置題目，學(xué)生進(jìn)行練習(xí)”為主的模式。久而久之，教師的教學(xué)方法也固化，學(xué)生逐步養(yǎng)成了依賴于教師的學(xué)習(xí)習(xí)慣，缺少自覺去鉆研的精神。高中數(shù)學(xué)邏輯思維性強(qiáng)、概念抽象、定理嚴(yán)謹(jǐn),明顯地表現(xiàn)為“起點高、難度大、容量大”等特征。在教學(xué)活動中，應(yīng)結(jié)合教學(xué)任務(wù)及其蘊合的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)設(shè)計合適的情境和問題，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)問題，使用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言描述問題，用數(shù)學(xué)的思想、方法解決問題。在問題解決的過程中，理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)。為了使學(xué)生更好發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)，可以通過典型教學(xué)案例加以開展。如：案例1 借助二次函數(shù)、求解一元二次不等式。立體幾何教學(xué)也可聯(lián)系至平面幾何知識,進(jìn)行概念的類比等等。案例2 函數(shù)的概念

初中學(xué)習(xí)的函數(shù)概念表述為：如果在一個變化過程中有兩個變量x和y，對于變量x的每一個值，變量y都有唯一的值與它對應(yīng)，那么稱y是x的函數(shù)。它強(qiáng)調(diào)的是用函數(shù)描述一個變化過程。到了高中，函數(shù)的概念表述為：給定兩個非空實數(shù)集合A和B，以及對應(yīng)關(guān)系f，若對于集合A中的每一個實數(shù)x，集合B中有唯一實數(shù)y=f(x)與x對應(yīng)，則稱y=f(x)為集合A上的函數(shù)，這個概念更強(qiáng)調(diào)實數(shù)集與實數(shù)集間的對應(yīng)關(guān)系，通常把這樣的表述成為函數(shù)的“對應(yīng)關(guān)系說”。這樣，不同的函數(shù)可以進(jìn)行加、減、乘、除等運算，函數(shù)研究的內(nèi)涵和應(yīng)用的范圍得以擴(kuò)展。

對應(yīng)關(guān)系強(qiáng)調(diào)的是對應(yīng)的結(jié)果，而不是對應(yīng)的過程。例如，借助高中函數(shù)的表達(dá)式，可以認(rèn)定函數(shù)y=cos2x+sin2x，x∈(-∞,+∞)與函數(shù)y=1 ，x∈(-∞,+∞)， 表示同一個函數(shù)。更一般地，可以判斷兩個函數(shù)是否相同：如果兩個函數(shù)的定義域相同，且相同的變量值對應(yīng)的函數(shù)值也相同，那么，這兩個函數(shù)就是同一個函數(shù)。

使用對應(yīng)關(guān)系刻畫函教還有更為深刻的含義，這是因為有些函數(shù)很難用解析式表示。側(cè)如，狄利克雷函數(shù)

因此，對函數(shù)概念的進(jìn)一步抽象是必要的。

三、建議

針對目前高一學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的現(xiàn)狀，為了進(jìn)一步提高學(xué)生的學(xué)習(xí)成績，在搞好教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、學(xué)習(xí)方法銜接同時，必需幫助學(xué)生完善學(xué)習(xí)過程（1）教師要指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行預(yù)習(xí)。通過課前預(yù)習(xí)，學(xué)生會遇到問題，進(jìn)而對所學(xué)知識產(chǎn)生疑問，產(chǎn)生好奇心。利用他們的這份好奇，使他們養(yǎng)成每節(jié)新課前都要進(jìn)行預(yù)習(xí)的習(xí)慣，從而了解下節(jié)課教師上課的內(nèi)容，提高聽課效率。（2）教師要指導(dǎo)學(xué)生采用科學(xué)的學(xué)習(xí)方法，提高學(xué)習(xí)效率。養(yǎng)成課后先看書并回顧當(dāng)天教師上課的內(nèi)容，再運用掌握的知識去完成作業(yè)加以鞏固。（3）教師要采用適當(dāng)?shù)姆椒ㄌ岣邔W(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，主動性，使學(xué)生做到對老師批改作業(yè)及時了解，對做錯的題目認(rèn)真對待，及時糾正。同時要培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，對于學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的問題認(rèn)真思考，決不輕易放過。（4）教師要指導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成系統(tǒng)復(fù)習(xí)的學(xué)習(xí)習(xí)慣，學(xué)會用自己的觀點來分析數(shù)學(xué)知識的框架，經(jīng)過對所學(xué)知識的梳理，給出自己對知識體系的一個理解，這樣會加深對所學(xué)知識的理解和記憶。

借用習(xí)近平總書記的一句話“幸福是靠奮斗出來的”，只要我們教師的教學(xué)理念也適合新時代的教育教學(xué)要求，在教學(xué)中，不斷根據(jù)所教內(nèi)容的定位和教育價值，時刻關(guān)注細(xì)節(jié)，扎實做好必備的教學(xué)常規(guī)要求及對學(xué)生的學(xué)習(xí)要求，這樣數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)就能做到水到渠成。