例說競賽題不同思路的比較

何文明 馬增山

(邯鄲市第一中學，河北 邯鄲 056002)

筆者長期從事物理競賽培訓工作,經過多年不懈的努力,每個賽季均有稍許的收獲．例如,2017年11月份在重慶舉行的第34屆物理競賽決賽中,有兩名學生獲得金牌,其中一名學生順利晉級國家集訓隊．追思已往競賽培訓生涯,給筆者留下深刻印象的,是學生們對崇高目標的追求、堅韌不拔的毅力以及令人驚奇的才思．他們聰慧的頭腦經常出乎意料,針對定解問題,突破已有的模式,給出自己獨到的見解．本文選取兩道經典的競賽題與讀者共享．為了比對,先摘錄原題的標準解答,再給出筆者學生的奇思妙想．

題1.(第21屆決賽第4題)由如圖1所示的電路,其中E為內阻可以忽略的電源的電動勢,R為電阻的阻值;S為開關;A、B是如圖1所標的8個完全相同的電容均為C的理想電容器組成的電路,問從合上S到各電容器充電完畢,電阻R上發熱消耗的能量是多少?(在解題時,要求在圖上標出你所設定的各個電容器極板上電荷的正負)

圖1

原解析:A、B右邊8個電容器組成的電路(圖2)可視為一個等效電容CAB,整個電路可簡化為圖3.下面首先計算等效電容CAB．設合上S到充電完畢的過程中,從A、B兩點充入A、B右邊電路的電荷量為Q,A正B負．設第i個電容器所充的電荷量為qi,各電容器極板上電荷的正負如圖2所示．

根據各節點的電荷守恒可列出下列4個獨立方程.

q1+q2+q3=Q，

-q1+q4+q7=0，

-q3-q4+q5+q6=0，

-q6-q7+q8=0.

圖2 圖3

q1+q4-q3=0，

q4+q6-q7=0，

q2-q3-q5=0，

q5-q6-q8=0.

根據能量守恒定律,電阻發熱消耗的能量為

W2=W0-W1.

難題巧解:對稱性分析．在原電路中取出A、B兩點右側部分電路,電容2直接并聯在A、B兩點,可暫時去掉不考慮,只對剩余部分進行幾何形狀的轉換,如圖4所示．

圖4

圖5

由圖4可看出,相對A、B兩點,電容網絡具有很強的幾何對稱性:電容1對應電容8,電容3對應電容5,電容4對應電容6,電容7跨接在兩個對稱點上．這樣可以將3、4、5、6之間的連接點斷開,成為一個簡單的電容串并聯網絡,成為圖5.

點評:這道題的電路結構,以A、B為界限,左邊很簡單,僅有一個電源E一個定值電阻R;右邊是一個“田”字型電容網絡．顯然,若右邊改為一個電容,整個電路就成為電磁學中常見的電容充電電路模型．若如此,無論是求電源充電做功,電容儲能,還是電阻生熱,對競賽生來說,易如反掌．但命題者獨具匠心地把單個電容改換為復雜的電容網絡,這樣,這道題難度直線上升,難倒一大批考生．簡化這種電容網絡有兩種方法:一種是設定好每個電容的正負極、電荷量,利用節點電荷量方程和回路電壓方程,解出每個電容上的電荷量分布,再進一步根據電壓、電荷量的關系求出等效電容,如原解析．顯然這種方法想到容易,但8個方程的求解極易出錯,無疑增加了解題的難度．第2種方法是根據電容網絡特征,找到對稱點,經過扭轉、變形、拆分、合并等手段,把復雜電路簡化成簡單的串并聯電路,如難題巧解．需要強調的是,對電路對稱性分析是解決復雜電容(或電阻)網絡的一項基本功,這種技能的提高只能源于解題訓練與分析，多觀察、多思考,勤于動手改畫電路,培養敏銳的科學思維能力,才能在考場上出奇制勝,穩操勝券．

圖6

題2.(29屆復賽第3題)如圖6所示,兩根剛性輕桿AB和BC在B段牢固粘接在一起,AB延長線與BC的夾角α為銳角,桿BC長為l,桿AB長為lcosα．在桿的A、B和C3點各固連一質量均為m的小球,構成一剛性系統．整個系統放在光滑水平桌面上,桌面上有一固定的光滑豎直擋板,桿AB延長線與擋板垂直．現使該系統以大小為v0、方向沿AB的速度向擋板平動．在某時刻,小球C與擋板碰撞,碰撞結束時球C在垂直于擋板方向的分速度為0,且球C與擋板不粘連．若使球C碰撞后,球A先于球B與擋板相碰,求夾角α應滿足的條件．

圖7

原解析:如圖7所示,建直角坐標系Oxy,x軸與擋板垂直,y軸與擋板重合,以vAx、vAy、vBx、vBy、vCx和vCy分別表示球C與擋板剛碰撞后A、B和C3球速度的分量,根據題意有vCx=0，用J表示擋板作用于球C的沖量的大小,其方向沿x軸的負方向,根據質點組的動量定理有

-J=mvAx+mvBx-3mv0，

0=mvAy+mvBy+mvCy.

以坐標原點O為參考點,根據質點組的角動量定理有

Jlsinα=mvAy(lcosα+lcosα)+mvBylcosα+mv0lsinα.

因為連結小球的桿都是剛性的,故小球沿連結桿的速度分量相等,故有vAx=vBx，

vCysinα=vBysinα-vBxcosα，

vAxcosθ-vAysinθ=-vCysinθ.

上式中θ為桿AB與連線AC的夾角.由幾何關系有

聯系以上各式得

J=mv0(1+2cos2α)，vAx=v0sin2α，

vAy=v0sinαcosα，

vBx=v0sin2α，vBy=0，vCy=-v0sinαcosα.

按題意,自球C與擋板碰撞結束到球A(也可能球B)碰撞擋板墻前,整個系統不受外力作用,系統的質心做勻速直線運動.若以質心為參考系,則相對質心參考系,質心是靜止不動的,A、B和C三球構成的剛性系統相對質心的運動是繞質心的轉動.為了求出轉動角速度,可考察球B相對質心的速度.由上面有關各式,在球C與擋板碰撞剛結束時系統質心P的速度為

這時系統質心的坐標為

圖8

這道復賽題,從所給的標準答案看,是很繁的．要做好這道題,學生需對牛頓力學的動量、角動量、質心、剛體系速度關系等知識點了然于胸,同時還必須有很強的計算能力．試卷注明這道題分值是25分,(從34屆開始,所有復賽題和決賽題分值加倍,當年的25分折合成現在就是50分．)也充分說明本題屬于難題等級．然而,就是這樣一道難題,筆者的一位學生卻輕松地給出了自己的解答,其簡捷程度令人拍案叫絕．現在欣賞其解析.

圖9

點評:從難題巧解看,滿足題目要求的夾角α并不依賴質心速度大小,因此在球C碰墻后,只要賦予質心任意大小的速度都可解出α>36°,這恐怕是命題教師沒有意料到的．這說明,對所求結論而言,原解析中前面大段的動量、角動量、剛體運動等等計算都是無效的勞動．為了不降低這道題的難度,并且達到良好的選拔功能,可以把設問變通一下,例如先求碰后三球的速度,再求角度α滿足的條件,這樣就避免了上述尷尬,也成就了一道經典好題．