第34屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽中的數(shù)學(xué)技巧

林慶新 李志雄

(1. 莆田市教師進(jìn)修學(xué)院，福建 莆田 351100; 2. 莆田第十中學(xué)，福建 莆田 351146)

第34屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽命題的突出特點(diǎn)是注重?cái)?shù)理結(jié)合,對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用能力要求高,下面將揭示試題多次涉及的數(shù)列和遞推等高中數(shù)學(xué)的方法和技巧．

例1.(第34屆預(yù)賽第8題)某一導(dǎo)體通過反復(fù)接觸某塊金屬板來(lái)充電．該金屬板初始電荷量為6 μC,每次金屬板與導(dǎo)體脫離接觸后,金屬板又被充滿6 μC．已知導(dǎo)體第一次與金屬板接觸后,導(dǎo)體上帶的電荷量為2 μC;經(jīng)過無(wú)窮次接觸,導(dǎo)體上所帶的電荷量最終為________．

將兩式相減得

利用上式,令n從1開始遞增至n,將得到的遞推關(guān)系式分行展開(并注意題給條件).

q1=2，

……

將以上各式等號(hào)左邊各項(xiàng)累加(將逐項(xiàng)相消至剩一項(xiàng)),等號(hào)右邊各項(xiàng)累加,得到

利用等比數(shù)列求和公式得

或且注意到經(jīng)過無(wú)窮次接觸后,導(dǎo)體上所帶電荷量不再變化,即當(dāng)n→∞時(shí),有

解得qn=3 μC.

例2.(第34屆預(yù)賽第15題),如圖1,某根水平固定的長(zhǎng)滑竿上有n(n≥3)個(gè)質(zhì)量相同的滑扣(即可以滑動(dòng)的圓環(huán)),每相鄰的兩個(gè)滑扣(極薄)之間有不可伸長(zhǎng)的柔軟輕質(zhì)細(xì)線相連,細(xì)線長(zhǎng)度均為L(zhǎng),滑扣在滑竿上滑行的阻力大小恒為滑扣對(duì)滑竿正壓力大小的μ倍．開始時(shí)所有滑扣可近似地看成挨在一起(但未相互擠壓)，今給第1個(gè)滑扣一個(gè)初速度使其在滑竿上開始向左滑行(平動(dòng))，在滑扣滑行的過程中,前、后滑扣之間的細(xì)線拉緊后都以共同的速度向前滑行,但最后一個(gè)(即第n個(gè))滑扣固定在滑竿邊緣．已知從第1個(gè)滑扣開始的(n-1)個(gè)滑扣相互之間都依次拉緊,繼續(xù)滑行距離l(0

(1) 滑扣1的初速度的大小;

(2) 整個(gè)過程中克服摩擦力所做的功;

(3) 整個(gè)過程中僅僅由于細(xì)線拉緊引起的總動(dòng)能損失．

圖1

解析: 此題是計(jì)算題,下面的解答將給出比參考解答更嚴(yán)謹(jǐn)和清晰的分析．

(1) 先探討一個(gè)運(yùn)動(dòng)物體和一個(gè)靜止物體碰撞后,發(fā)生完全非彈性碰撞前后的能量變化．設(shè)兩個(gè)物體質(zhì)量分別為m1和m2,初速度分別為v1和0,發(fā)生完全非彈性碰撞后共同速度為v,則碰前的動(dòng)能為

(1)

由于細(xì)繩拉緊前后時(shí)間間隔極短,可以忽略摩擦阻力,故前后動(dòng)量守恒,有

m1v1=(m1+m2)v.

(2)

碰后的動(dòng)能之和(即系統(tǒng)剩余動(dòng)能)為

(3)

由(1)～(3)式得

(4)

設(shè)第一個(gè)滑扣以速度v10開始運(yùn)動(dòng),其動(dòng)能為

(5)

在第1個(gè)滑扣滑動(dòng)距離L、第1與第2個(gè)滑扣之間的細(xì)繩剛拉緊前的瞬間,系統(tǒng)剩余動(dòng)能為

E1f=E10-μmgL.

(6)

此后第1個(gè)滑扣與第2個(gè)滑扣拉緊(發(fā)生完全非彈性碰撞),2個(gè)滑扣共同滑行距離L后與第3個(gè)滑扣拉緊,3個(gè)滑扣共同滑行距離L后又與第4個(gè)滑扣拉緊……

設(shè)第k-1個(gè)滑扣與第k個(gè)滑扣拉緊后的動(dòng)能為Ek0(即k個(gè)滑扣開始滑行的動(dòng)能),共同滑行距離L后的動(dòng)能為Ekf,則有

Ek0-kμmgL=Ekf.

(7)

第k個(gè)滑扣與第k+1個(gè)滑扣拉緊后的動(dòng)能為E(k+1)0,則由(4)式結(jié)論有

(8)

由(7)、(8)式可得

(k+1)E(k+1)0-kEk0=-k2μmgL.

(9)

令k從1開始遞增至k-1依次代入(9)式,將得到的遞推式分行排列如下.

2E20-E10=-12μmgL，

3E20-2E10=-22μmgL，

4E20-3E10=-32μmgL，

……

kEk0-(k-1)E(k-1)0=-(k-1)2μmgL.

將以上各式等號(hào)左邊各項(xiàng)累加(注意相消),等號(hào)右邊各項(xiàng)累加,可得到

kEk0-E10=

-[12+22+32+…+(k-1)2]μmgL.

(10)

(11)

利用上式結(jié)論,從第1個(gè)滑扣開始的(n-1)個(gè)滑扣相互之間依次拉緊后的動(dòng)能為

(12)

依題意,這(n-1)個(gè)滑扣共同滑行l(wèi)(0

E(n-1)0=(n-1)μmgl.

(13)

由(5)、(12)、(13)式得

(14)

(2)整個(gè)過程中克服摩擦力所做的功為

W=μmgL[1+2+3+…+(n-2)]+μ(n-1)mgl.

利用等差數(shù)列公式得

(15)

(3)整個(gè)過程中僅僅由于細(xì)線拉緊引起的總動(dòng)能損失為

ΔE=E10-W.

(16)

由(5)、(14)～(16)式得

23-13=3·12+3·1+1，

33-23=3·22+3·2+1，

……

(n+1)3-n3=3n2+3n+1.

將以上各式等號(hào)左邊各項(xiàng)累加,等號(hào)右邊各項(xiàng)累加,可得到

整理得