關于金屬材料復折射率符號的討論及運用

殷嘉琳 王 妍 錢 敏, 2*

(1.蘇州大學文正學院電子工程系,江蘇 蘇州 215104;2.蘇州大學電子信息學院微電子系,江蘇 蘇州 215006)

在科學研究過程中,比如電磁場理論(電動力學)、光學、薄膜光學、半導體光電等,會涉及到材料的折射率,包括有耗介質金屬材料的折射率.在不同的資料中,有關金屬材料折射率提供了兩種形式.在電動力學中[1],形式為N=n+ik,其中n稱為常規折射率,k稱為消光系數.在薄膜光學[2-3]、半導體光電[4]中提供的形式為N=n-ik.這給大家在計算過程中造成困擾.與折射率密切相關的一個參數是介電常數,根據經典電磁理論,折射率是介電常數的平方根.金屬材料的介電常數與電磁波頻率有關,所以改稱介電函數.有文獻資料[5-7]曾對該問題進行簡單的討論:提出造成金屬介電函數有不同形式的原因是在推導過程中電磁場的波動形式采用了兩種形式:e-i ω t和ei ω t.固然是如此,那到底在使用介電函數進行計算時,采用哪個形式呢?這給大家造成了一些困擾,筆者就該問題進行了比較深入的研究.

1 金屬電子氣極化及Lorentz-Drude模型

物質材料的介電常數取決于物質在外電場作用下的極化特性.一般由電子位移極化、離子位移極化、固有偶極矩取向極化組成.金屬內部存在大量的近自由電子,可將金屬晶體理解為淹沒在電子海洋中的正離子實點陣,一般不具有固有偶極矩.同時由于原子核(離子實)與電子質量相差懸殊,對電特性研究,離子運動可以忽略,故離子位移極化亦可忽略不計,因此,金屬的極化特性決定于自由電子位移極化.

根據經典電磁理論,無外電場時,電子進行繞核運動,正負電荷的中心重疊,因此固有偶極矩為0;當加外場后,電子軌道偏移造成正負電荷中心分離,產生偶極矩,通常稱為感生電偶極矩.如何計算感生電偶極矩,必須采用一定的模型.經典方法是將繞核運轉的電子視為束縛諧振電子,彈性恢復力屬于束縛力,還受到輻射阻尼力,可以得介質中外場作用下電子的運動方程,電磁場形式采用e-i ω t形式:

其中ω0是電子固有束縛振動頻率,ω是外場頻率,γ是阻尼系數.上式的解的形式為

x=x0e-i ω t.

求出各階導數,代入運動方程后并根據相對介電常數的定義得到

其中

以上假定金屬中單位體積中有N個原子,每個原子有Z個電子,NZ是單位體積內的電子數,電子固有束縛振動頻率均為ω0,ωp稱為體等離子體頻率.所有電子的固有束縛振動頻率都為ω0,阻尼系數都為γ.但實際上,原子中電子可能存在多個束縛振動頻率和阻尼系數.假設每個原子中的電子有K種振動頻率和阻尼系數,束縛振動頻率為ωj、阻尼系數為γj的電子有zj(j=0,1,2…K)個,則可將上式改寫為

(1)

其中f0為自由電子比例,fj為固有頻率為ωj的束縛電子比例,其中γ0也是輻射阻尼系數.約束條件為

這就是最終形式的金屬相對介電常數.由于是外場頻率ω的函數(是一個復數),所以又稱為介電函數,該模型稱為Lorentz-Drude模型.[8]需要說明的一點是,以上推導過程僅僅是一種模型而已,并不能完全說明介電函數的全部成因;實際的結果通常以實驗測試值為準,相關參數通常根據該模型通過擬合得到,并不一定滿足約束條件,此時改稱fj為強度因子.[9]表1、2列出了Ag和A1金屬材料相關擬合參數.

表1 Ag的復介電函數相關參數(ωp=9.01/eV,LD模型)

表2 Al的復介電函數相關參數(ωp=14.98/eV,LD模型)

2 高頻近似Drude模型

當外場的頻率遠遠大于原子中電子的束縛頻率時(比如可見光頻段),金屬中的電子可視為是自由的,且阻尼可忽略不計,此時金屬對電磁波的作用類似于由離子和自由電子組成的電離氣體(等離子體)對電磁波的作用,此時金屬的相對介電常數可由公式(1)作高頻近似后得到

(2)

這就是自由電子的Drude模型;[10]在不忽略阻尼的情況下,近自由電子的介電常數可表示為

(3)

根據電磁場理論,我們知道,非磁性介質材料的折射率是介電常數的平方根;根據公式(3)可知,金屬材料的折射率N也是一個復數.簡單推導可以得到,折射率有N=n+ik的形式,實部n是通常的折射率,k是消光系數(k>0),它表示了電磁相互作用時,材料對電磁波的衰減作用.值得指出的是,以上推導過程,電磁波的形式采用了負指數形式;假如電磁波形式采用正指數ei ω t形式,那么最終推導的結果形式為

(4)

此時折射率有N=n-ik的形式,k>0.必須注意的是,在光學計算的過程中(比如薄膜光學特征矩陣的形式會不同),必須采用相應的形式,才能得到正確的計算結果.總結如下:

3 金屬復介電函數和復折射率

根據復介電函數和復折射率的平方關系,畫出幅角關系如圖1所示.

圖1 金屬復介電函數與復折射率之間輻角的關系

根據公式(2)(3),一般當光頻小于等離子體頻率時,金屬的復介電函數的實部ε′<0,ε″取絕對值(>0),所以可見光頻段金屬被稱為負介電常數材料.根據復數運算規則可見,兩種形式下,介電函數、折射率的實部和虛部的絕對值是一致的.通常金屬介電函數的實部絕對值比虛部絕對值大較多,導致復折射率的實部絕對值比虛部絕對值小較多.

事實上,這兩種形式的復折射率對于電磁波在金屬等有耗介質中的衰減傳播形式是一致的,如下兩式所示.

eiωt形式，N=n-ik:

e-iωt形式，N=n+ik:

由此可見,負指數衰減部分的形式是一致的.表3列出了常見金屬材料的復介電常數和復折射率.

表3 常見金屬材料的復介電常數和復折射率(@λ=528 nm,LD模型)[9]

4 折射率形式在薄膜光學計算中的運用

采用不同的電磁波振動因子形式,推導薄膜光學計算中相關計算公式,必須與相對應的金屬介電函數配套使用;否則計算就會出現差錯.

如含金屬薄膜層的振幅分割的多光束薄膜干涉計算:

如用傳輸矩陣法計算含金屬薄膜層的多層介質的透射系數和反射系數: